Предел

[RNT]

Помогите пожалуйста найти предел

$$\lim_{x \to 0} (2-3^{{\sin^2(x)}})^{1/\ln(\cos x)}$$

При помощи формул эквивалентностей я преобразовал его к виду

$$\lim_{x \to 0}(2-3^{{x^2}})^{-2/x^2}$$

но не знаю что делать дальше

Не забывайте ставить обратные косые, когда пишете название стандартной функции. Сравните: $cos(x)$

$cos(x)$

и $\cos x$

$\cos x$

Так даже скобочки не нужны, поскольку ТеХ делает симпатичную отбивку.

[ShMaxG]

В таких случаях всегда поступают так: записывают $\[{\left( {2 - {3^{{x^2}}}} \right)^{ - 2/{x^2}}} = {e^{ - \frac{2} {{{x^2}}}\ln \left( {2 - {3^{{x^2}}}} \right)}}\]$ и отсылая к непрерывности экспоненты, заносят предел в показатель. А там уж и ответ получается...

[Хорхе]

RNT в сообщении #358317 писал(а):

При помощи формул эквивалентностей я преобразовал его к виду

Тпррру!

Кто Вам разрешил эквивалентности использовать в таких случаях? Вообще говоря, этого делать нельзя.

[ShMaxG]

Да, кстати. Наверно с самого начала лучше все это дело оформлять в терминах о-малых (ну или О-больших) записывая равенства.

(Впрочем здесь это на ответ не повлияет.)

[AD]

Да-да, сейчас топикстартер хочет подумать на тему $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}1^n=1$ (ибо $1\sim 1+\frac1n$).

[RNT]

Спасибо за помощь

ShMaxG в сообщении #358320 писал(а):

В таких случаях всегда поступают так: записывают $\[{\left( {2 - {3^{{x^2}}}} \right)^{ - 2/{x^2}}} = {e^{ - \frac{2} {{{x^2}}}\ln \left( {2 - {3^{{x^2}}}} \right)}}\]$ и отсылая к непрерывности экспоненты, заносят предел в показатель. А там уж и ответ получается...

Я продолжил так

$$\lim_{x \to 0} \left ( e ^ {-\frac{2}{x^2} \ln(1-x^2 \ln 3)} \right ) = e^{2 \ln 3} = 9$$

Хорхе в сообщении #358325 писал(а):

Кто Вам разрешил эквивалентности использовать в таких случаях? Вообще говоря, этого делать нельзя.

Почему нельзя ? Я использовал формулы с лекции http://i56.tinypic.com/1zzmlau.jpg

AD в сообщении #358333 писал(а):

Да-да, сейчас топикстартер хочет подумать на тему $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}1^n=1$ (ибо $1\sim 1+\frac1n$).

Почему я так должен подумать ? $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e$ а не $1$ (второй замечательный предел)

[Padawan]

RNT в сообщении #358382 писал(а):

Хорхе в сообщении #358325 писал(а):

Кто Вам разрешил эквивалентности использовать в таких случаях? Вообще говоря, этого делать нельзя.

Почему нельзя ? Я использовал формулы с лекции http://i56.tinypic.com/1zzmlau.jpg

На эквивалентные можно заменять только в произведении. И точка. (вообще-то еще можно кое-где, например, под корнем, но Вам такое еще рано знать, запутаетесь).

[Хорхе]

RNT в сообщении #358382 писал(а):

AD в сообщении #358333 писал(а):

Да-да, сейчас топикстартер хочет подумать на тему $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}1^n=1$ (ибо $1\sim 1+\frac1n$).

Почему я так должен подумать ? $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e$ а не $1$ (второй замечательный предел)

Так у Вас рассуждения совершенно в том же духе, что и то, которое привел AD. По ссылке просто перечень эквивалентностей, но ни слова о том, когда их можно применять. Как показывает пример AD, применять их можно далеко не всегда.

[ShMaxG]

Ух, пока писал уже все сказали. Ну, для закрепления все же напишу.

RNT в сообщении #358382 писал(а):

Почему нельзя ?

Вот у Вас есть функция $\[f{\left( x \right)^{g\left( x \right)}}\]$. И Вы хотите записать к ней эквивалентную. Но если $\[f\left( x \right) \sim A\left( x \right),g\left( x \right) \sim B\left( x \right)\]$, то не факт, что $\[f{\left( x \right)^{g\left( x \right)}} \sim A{\left( x \right)^{B\left( x \right)}}\]$ и AD вам такой пример привел. В общем случае это не правильно, к каждой функции в выражении находить эквивалентную и просто подставлять в это выражение, и писать что оно эквивалентно исходному. И это касается не только функции вида $\[f{\left( x \right)^{g\left( x \right)}}\]$.

[RNT]

Хорхе в сообщении #358389 писал(а):

Так у Вас рассуждения совершенно в том же духе, что и то, которое привел AD. По ссылке просто перечень эквивалентностей, но ни слова о том, когда их можно применять. Как показывает пример AD, применять их можно далеко не всегда.

Все формулы эквивалентностей, которые я списал в институте, справа и слева знака $\sim $ имели функцию. Но в примере, приведенном AD, $1\sim 1+\frac1n$ слева константа $1$. Является ли $1\sim 1+\frac1n$ при $x \to \infty$ формулой эквивалентности ?

[Joker_vD]

До чего мы докатились... студенты константу за функцию не считают.

$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}} = 1$, так что эквивалентны.