2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Корни из единицы
Сообщение29.09.2010, 17:00 
$z=\frac {2+3i} {2-3i} = \frac {12i-5} {13}$
Вопрос - является ли это каким-либо корнем n-ной степени из единицы? Если является, то какое n?
Что только не перепробовал - никак((( Была мысль $ \frac {(12i-5)^n} {13^n}=1$ - это верно только если действительная часть числителя равна $13^n$, а мнимая - нулю. Но не получилось посчитать, равна ли мнимая нулю, или нет...
Подскажите, пожалуйста.

 
 
 
 Re: Корни из единицы
Сообщение29.09.2010, 17:25 
lega4 в сообщении #357331 писал(а):
$z=\frac {2+3i} {2-3i} = \frac {12i-5} {13}$
Вопрос - является ли это каким-либо корнем n-ной степени из единицы? Если является, то какое n?
Что только не перепробовал - никак((( Была мысль $ \frac {(12i-5)^n} {13^n}=1$ - это верно только если действительная часть числителя равна $13^n$, а мнимая - нулю. Но не получилось посчитать, равна ли мнимая нулю, или нет...
Подскажите, пожалуйста.
Распишите мнимую часть через бином, и посмотрите её делимость, например, на 5.

 
 
 
 Re: Корни из единицы
Сообщение29.09.2010, 17:27 
Аватара пользователя
Корни из единицы лежат на вершинах правильного $n$-угольника, т. е. аргумент $z$ должен быть каким-то рациональным числом, умноженным на $\pi$.

 
 
 
 Re: Корни из единицы
Сообщение29.09.2010, 17:34 
venco
$Im= C_n^1 12\cdot5^{n-1}-C_n^3 12^3\cdot5^{n-3}+C_n^5 12^5\cdot5^{n-5}-... $
обновление: В зависимости от четности n она может делиться на 5, а может и не делиться. Если n нечетно, то не делится, т.к. заканчивается $C_n^n 12^n$

caxap тоже была мысля. Если аргумент этой дроби $\varphi$, то чтобы можно было сляпать правильный n-угольник, надо, чтобы этот угол, который можно порезать на a частей $\frac {\varphi}{a}\cdot n=2\pi$ Но ведь фи соизмерим с пи, т.е $\frac {x\cdot\pi}{a}\cdot n=2\pi$ И чтобы доказать невозможность этого, надо доказать иррациональность икс. А как?

И вообще, аргумент этой дроби - $\pi-arcsin(\frac{12}{13})$. А это не очень красивый аргумент)))

 
 
 
 Re: Корни из единицы
Сообщение29.09.2010, 17:48 
lega4 в сообщении #357345 писал(а):
venco
$Im= C_n^1 12\cdot5^{n-1}-C_n^3 12^3\cdot5^{n-3}+C_n^5 12^5\cdot5^{n-5}-... $
обновление: В зависимости от четности n она может делиться на 5, а может и не делиться. Если n нечетно, то делится.
Хорошо, а как насчёт делимости на 25?

 
 
 
 Re: Корни из единицы
Сообщение29.09.2010, 17:50 
venco еще раз пост обновил, вроде не делится при нечетных
Насчет 25 - наверно вообще не делится при нечетных, и делится при четных n.

 
 
 
 Re: Корни из единицы
Сообщение29.09.2010, 17:52 
lega4 в сообщении #357353 писал(а):
venco еще раз пост обновил, вроде не делится при нечетных
Насчет 25 - наверно вообще не делится при нечетных, и делится при четных n.
Первое правильно, а второе - нет.
И какой из этого можно сделать вывод?

 
 
 
 Re: Корни из единицы
Сообщение29.09.2010, 17:55 
venco что именно первое и второе?


З.Ы. Туплю, наверно, жутко, просто уже несколько часов парюсь...

 
 
 
 Re: Корни из единицы
Сообщение29.09.2010, 17:56 
Хорошо, давайте для начала рассмотрим нечётное n.
Что у нас с делимостью на 5 получилось?

 
 
 
 Re: Корни из единицы
Сообщение29.09.2010, 17:59 
Нечетное n. Тогда
$Im= C_n^1 12\cdot5^{n-1}-C_n^3 12^3\cdot5^{n-3}+C_n^5 12^5\cdot5^{n-5}-...\pm C_n^n 12^n $ (Знак перед последним слагаемым зависит от крастности n четырем)
Получается, что на 5 не делится.

 
 
 
 Re: Корни из единицы
Сообщение29.09.2010, 18:05 
lega4 в сообщении #357360 писал(а):
Получается, что на 5 не делится.
И какой из этого можно сделать вывод?

 
 
 
 Re: Корни из единицы
Сообщение29.09.2010, 18:07 
venco
А! Типа, т.к. все слагаемые кроме этого последнего, делятся на 5, а последнее нет, то сумма по-любому не будет ноль?

 
 
 
 Re: Корни из единицы
Сообщение29.09.2010, 18:13 
lega4 в сообщении #357368 писал(а):
venco
А! Типа, т.к. все слагаемые кроме этого последнего, делятся на 5, а последнее нет, то сумма по-любому не будет ноль?
Правильно!
Теперь рассмотрим чётное n. Там слегка сложнее, т.к. $n$ или $n-1$ тоже могут делиться на 5. Поэтому для начала рассмотрите $n=5^k r$, где r не делится на 5.
Ну и так далее.

 
 
 
 Re: Корни из единицы
Сообщение29.09.2010, 18:24 
Т.к. $C_n^{n-1}=n$ то предыдущее можно записать как
$Im= C_n^1 12\cdot5^{n-1}-C_n^3 12^3\cdot5^{n-3}+C_n^5 12^5\cdot5^{n-5}-...\pm n\cdot 12^{n-1}\cdot5$

Если $n=5^k r$, то вынесем за скобку 5 в меньшей степени (Можно ли обоснованно доказать, в каком слагаемом она будет? Мне кажется, что вне зависимости от $k$ меньшая степень будет в последнем слагаемом, но, наверное, это надо доказать) и получим то же самое.
А если n не кратно 5, то вынесем просто 5 и все равно получим то же самое.

 
 
 
 Re: Корни из единицы
Сообщение29.09.2010, 18:33 
lega4 в сообщении #357381 писал(а):
Т.к. $C_n^{n-1}=n$ то предыдущее можно записать как
$Im= C_n^1 12\cdot5^{n-1}-C_n^3 12^3\cdot5^{n-3}+C_n^5 12^5\cdot5^{n-5}-...\pm n\cdot 12^{n-1}\cdot5$

Если $n=5^k r$, то вынесем за скобку 5 в меньшей степени (Можно ли обоснованно доказать, в каком слагаемом она будет? Мне кажется, что вне зависимости от $k$ меньшая степень будет в последнем слагаемом, но, наверное, это надо доказать) и получим то же самое.
А если n не кратно 5, то вынесем просто 5 и все равно получим то же самое.
Правильно. Про $n-1$ - это я напутал.

 
 
 [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group