2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение24.08.2006, 14:48 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Highwind писал(а):
А когда надыть решить такую задачу, то подразумевается, что решение должно быть сколько-нибудь красивым.

Мое решение состоит как бы из двух частей: сведение к конечному перебору и собственно сам перебор. Сведение, как мне кажется, вполне может претендовать на красоту. А перебор - это дело техники.

Впрочем, указанное мной решение не отменяет существование другого решения - найдите такое, а мы посмотрим насколько оно красивое. Рустем утверждает, что существует как минимум еще одно альтернативное решение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.08.2006, 14:56 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Я уже привёл. Когда, задачу можно решить без перебора, то такое решение всегда предпочтительнее.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.08.2006, 15:04 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Руст писал(а):
Так как справа куб числа не делящегося на 3, то остаток при делении на 9 может быть равным 1 или 8, т.е. (при k>1) $5^k=1 \ or \ 8 (mod \ 9)$. Отсюда следует, что k делится на 3. Учитывая, что $3^{3l}+5^{3l}=(3^l+5^l)(3^{2l}-3^l5^l+5^{2l})$ и сомножители взаимно просты получаем, что каждый из них куб. Таким образом, доходим, что кубом является и число, когда k не делится на 3.

Правильно ли я понял, что мы от $k$ переходим к $l$ и т.д.? Но при этом переходе неравенство $k>1$ может нарушится (при $l=1$), и тогда нижеследующее не работает.
Руст писал(а):
А этого не может быть при k>1 согласно проверке по остаткам по модулю 9, как ранее установили.

Получается, что нужно еще отдельно рассматривать случай, когда $k$ является степенью 3-ки.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.08.2006, 15:13 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Правильно. Нарушается только, когда l=1, но $3^3+5^3\not=n^3$ согласно теореме Ферма или непосредственно проверяется.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.08.2006, 16:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Доказана теорема, что уравнение $a^x+b^y=c^z$, где $a,b,c$ - целые числа, отличные от нуля и степени двойки, имеет всегда конечное число решений в целых числах $x,y,z$.
Это оправдывает переборный подход.
А сама искомая задача пришла с mathLinks...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.08.2006, 16:35 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Артамонов Ю.Н. писал(а):
Доказана теорема, что уравнение $a^x+b^y=c^z$, где $a,b,c$ - целые числа, отличные от нуля и степени двойки, имеет всегда конечное число решений в целых числах $x,y,z$.
Это оправдывает переборный подход.
А сама искомая задача пришла с mathLinks...

А вы можете привести все решения. Если нет, то это как раз говорит против перебора, так как мы не знаем, до какого надо перебрать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.08.2006, 16:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
На количество решений аналитическая формула мне неизвестна. Имелось ввиду, что можно отделить очевидные решения, о дальше поискать модуль, по которому сравнение неразрешимо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.08.2006, 17:28 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
На самом деле число решений бесконечно, когда меняются и параметры, даже таких, для которых все x,y,z больше 1. Уже поэтому нельзя перебрать все решения. При конкретных a,b,c хотя число решений и конечно, но нет эффективной оценки для указания чем они ограничены, значит нельзя сказать, что мы перебрали все возможные даже после года вычислений.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group