Степенное диофантово уравнение

[maxal]

Highwind писал(а):

А когда надыть решить такую задачу, то подразумевается, что решение должно быть сколько-нибудь красивым.

Мое решение состоит как бы из двух частей: сведение к конечному перебору и собственно сам перебор. Сведение, как мне кажется, вполне может претендовать на красоту. А перебор - это дело техники.

Впрочем, указанное мной решение не отменяет существование другого решения - найдите такое, а мы посмотрим насколько оно красивое. Рустем утверждает, что существует как минимум еще одно альтернативное решение.

[Руст]

Я уже привёл. Когда, задачу можно решить без перебора, то такое решение всегда предпочтительнее.

[maxal]

Руст писал(а):

Так как справа куб числа не делящегося на 3, то остаток при делении на 9 может быть равным 1 или 8, т.е. (при k>1) $5^k=1 \ or \ 8 (mod \ 9)$. Отсюда следует, что k делится на 3. Учитывая, что $3^{3l}+5^{3l}=(3^l+5^l)(3^{2l}-3^l5^l+5^{2l})$ и сомножители взаимно просты получаем, что каждый из них куб. Таким образом, доходим, что кубом является и число, когда k не делится на 3.

Правильно ли я понял, что мы от $k$ переходим к $l$ и т.д.? Но при этом переходе неравенство $k>1$ может нарушится (при $l=1$), и тогда нижеследующее не работает.

Руст писал(а):

А этого не может быть при k>1 согласно проверке по остаткам по модулю 9, как ранее установили.

Получается, что нужно еще отдельно рассматривать случай, когда $k$ является степенью 3-ки.

[Руст]

Правильно. Нарушается только, когда l=1, но $3^3+5^3\not=n^3$ согласно теореме Ферма или непосредственно проверяется.

[juna]

Доказана теорема, что уравнение $a^x+b^y=c^z$, где $a,b,c$ - целые числа, отличные от нуля и степени двойки, имеет всегда конечное число решений в целых числах $x,y,z$.
Это оправдывает переборный подход.
А сама искомая задача пришла с mathLinks...

[Руст]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Доказана теорема, что уравнение $a^x+b^y=c^z$, где $a,b,c$ - целые числа, отличные от нуля и степени двойки, имеет всегда конечное число решений в целых числах $x,y,z$.
Это оправдывает переборный подход.
А сама искомая задача пришла с mathLinks...

А вы можете привести все решения. Если нет, то это как раз говорит против перебора, так как мы не знаем, до какого надо перебрать.

[juna]

На количество решений аналитическая формула мне неизвестна. Имелось ввиду, что можно отделить очевидные решения, о дальше поискать модуль, по которому сравнение неразрешимо.

[Руст]

На самом деле число решений бесконечно, когда меняются и параметры, даже таких, для которых все x,y,z больше 1. Уже поэтому нельзя перебрать все решения. При конкретных a,b,c хотя число решений и конечно, но нет эффективной оценки для указания чем они ограничены, значит нельзя сказать, что мы перебрали все возможные даже после года вычислений.