В РТГ пространство Минковского специально не постулируется. Точнее это просто
общефизическая аксиома которая там как и везде кладется в основу общего матописания
физической реальности. Сама псевдориманова геометрия в РТГ в отличие от ОТО изначально не постулируется, а является строгим математическим следствием уравнений гравитационного поля. Сам вопрос о правомерности выбора, в качестве фоновой метрики,
метрику пространства Минковского, выходит за рамки классической (не квантовой) теории
гравитации. Этот вопрос рассматривают обычно уже на уровне квантовой гравитации, которую мы с Вами не обсуждаем. (В квантовой гравитации допустимы например метрики
любой сигнатуры
) Финслерова геометрия ничем не лучше римановой.
Более продвинутая по сравнению с ОТО теория должна давать те или иные геометрии
как решения обобщенных уравнений гравитационного поля. Разумеется класс всех возможных
геометрий должен быть ограничен каким то новым физическим принципом. Этот класс должен быть значительно более широким чем класс финслеровых пространств.
Чисто финслерово обобщение ОТО или РТГ,не представляет абсолютно никакого фисического интереса. Это обобщение есть просто тривиальная замена минковского на то или иное плоское финслерово пространство, что является просто обобщением самой релятивистской
физики но не гравитации. Это совершенно естественно, поскольку финслерова геометрия
есть достаточно тривиальное обобщение римановой и была самим же Риманом предложена. Математики которые напридумывали кучи таких обобщений, просто не знают физики
и не понимают, что новые предсказания таких теорий просто индуцированы свойствами новой плоской метрики. Более того на уровне квантования таких обобщенных теорий, возникают те же проблемы что и с ОТО.