Висит стержень в вагоне. Вагон останавливается

[мат-ламер]

"В вагоне, движущемся с постоянной скоростью $v$ к потолку шарнирно подвешен стержень длиной $l$. На какой максимальный угол от вертикали отклонится стержень, если вагон резко остановить?" (Для простоты предположим, что исходные данные такие, что этот угол острый, и столкновения с крышей вагона не будет). Казалось бы элементарная задача. Получив ответ $\cos \alpha =1-v^2/gl$, посмотрел ответ в задачнике - там $\cos \alpha =1-0.75v^2/gl$. Откуда дополнительный множитель? Любопытно, что задача в главе про вращательное движение и момент инерции. Интересно, а это тут причём? Может я чего-нибудь не учёл?

-- Ср сен 22, 2010 22:21:40 --

Возможно я не учёл, что в момент остановки стержень в точке подвеса испытывает удар. Скачком меняется импульс, момент импульса, а, возможно, и энергия. Подумаю в этом направлении.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #355214 писал(а):

Откуда дополнительный множитель?

Мне лень считать, но дополнительный множитель (какой-никакой) там неизбежен. В ответе ведь должен быть задействован момент инерции стержня (относительно его конца).

[мат-ламер]

ewert в сообщении #355241 писал(а):

В ответе ведь должен быть задействован момент инерции стержня.

Пока не знаю, куда его засунуть.

[Утундрий]

Пишите как решали, будем править. У меня 3/4 получились, так что ответ видимо правильный.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #355242 писал(а):

Пока не знаю, куда его засунуть.

Чешется сказать иначе, но я отвечу, наоборот, по-иному. Посчитайте кинетическую энергию вращения стержня в момент остановки в новой, уже неподвижной, системе отсчёта.

[мат-ламер]

Первоначальное решение (просили). Если стержень поднимается на угол $\alpha$, то его центр тяжести поднимается на высоту $l(1-\cos \alpha )/2$. Отсюда по закону сохранения энергии $mv^2/2=mgl(1-\cos \alpha)$. Решаем уравнение относительно $\cos \alpha$.

-- Ср сен 22, 2010 22:48:48 --

ewert в сообщении #355251 писал(а):

Посчитайте кинетическую энергию вращения стержня в момент остановки в новой, уже неподвижной, системе отсчёта.

Кинетическая энергия вращения выражается через момент инерции и угловую скорость. Как её найти - непонятно.

-- Ср сен 22, 2010 22:53:43 --

мат-ламер в сообщении #355214 писал(а):

Возможно я не учёл, что в момент остановки стержень в точке подвеса испытывает удар. Скачком меняется импульс, момент импульса, а, возможно, и энергия. Подумаю в этом направлении.

А энергия от столкновения лёгкого тела с очень тяжёлым, можно считать, что и не меняется.

-- Ср сен 22, 2010 23:04:13 --

Угловую скорость в самом начале движения можно было бы посчитать из того что центр тяжести стержня движется со скоростью $v$, но это весьма сомнительно.

[Утундрий]

Мда...

Хорошо, вот рабоче-крестьянское решение. Долго, неизящно, но зато запутаться негде...

Обозначения:
$\[l_C \]$ - расстояние от подвеса до центра масс маятника;
$\[m\]$ - масса маятника;
$\[I\]$ - момент инерции маятника относительно подвеса;
$\[x(t)\]$ - координата точки подвеса (произвольная функция);
$\[\theta \]$ - угол отклонения маятника от вертикали;
$\[g\]$ - ускорение свободного падения;
$\[v\]$ - скорость, сообщенная точке подвеса.

Лагранжиан:
$\[L = \frac{1}{2}a\dot \theta ^2 + \left( {\dot \xi \dot \theta + \omega ^2 } \right)\cos \theta \]$
, где
$\[a \equiv \frac{I}{{ml_C^2 }},\omega ^2 \equiv \frac{g}{{l_C }},\xi \equiv \frac{x}{{l_C }}\]$

Уравнение:
$\[\ddot \xi \cos \theta + a\ddot \theta + \omega ^2 \sin \theta = 0\]$

Первоначально маятник покоится. В момент $\[t = 0\]$ даем импульс $\[\dot \xi (t) = - \frac{v}{{l_C }}\delta (t)\]$, откуда для начальной угловой скорости получаем $\[\dot \theta _0 = \frac{v}{{al_C }}\]$. В уравнение энергии подставляем, сокращаем и вот оно:

$\[\cos \theta _{\max } = 1 - \frac{{v^2 }}{{2agl_C }}\]$

Для однородного стержня $\[l_C = \frac{l}{2},a = \frac{4}{3}\]$, откуда $\[\cos \theta _{\max } = 1 - \frac{3} {4}\frac{{v^2 }}{{gl}}\]$

[мат-ламер]

Утундрий. Спасибо за решение. Сейчас ложусь спать и разбираться с ним буду завтра.

[ewert]

Утундрий в сообщении #355265 писал(а):

вот рабоче-крестьянское решение. Долго, неизящно,

, и это ещё очень, очень мягко сказано. "Знаете ли вы, что такое истинно рабоче-крестьянский подход? Нет, вы не знаете истинного рабоче-крестьянского подхода!" Вот он.

Всё ведь упирается в начальную угловую скорость, не так ли? Ну так пусть $\omega(t)$ -- угловая скорость стержня и $a(t)$ -- ускорение вагона в процессе торможения. Тогда в системе отсчёта, связанной с вагоном (за знаками, естественно, не следим, кому они нужны):

$I\omega'(t)=\dfrac{l}{2}\cdot ma(t),\quad I=\dfrac{ml^2}{3}$

(угловой множитель в правой части уравнения отсутствует, т.к. за время экстренного торможения угол существенно измениться не успеет). Интегрируя по времени на участке торможения, получим $I\omega_0=\dfrac{mlv}{2}$, где $\omega_0$ -- угловая скорость непосредственно после торможения. Соответствующая кинетическая энергия:

$\dfrac{I\omega_0^2}{2}=\dfrac{m^2l^2v^2}{8I}=\dfrac{3mv^2}{8}=mg\dfrac{l}{2}(1-\cos\varphi)$

(т.е. равна изменению потенциальной энергии), откуда сразу и результат.

[Утундрий]

ewert, чтобы столь лихо финтить ушами, нужно сперва хоть один раз решить подобную задачку честно. А у ТС-а с этим, как мне показалось, туго.

[ewert]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #355401 писал(а):

ewert, чтобы столь лихо финтить ушами, нужно сперва хоть один раз решить подобную задачку честно. А у ТС-а с этим, как мне показалось, туго.

Понимаете, Утундрий, задачка-то явно даже если и не школьная, то первосеместровая максимум. А Вы сразу: Лагранжи, Навье-Стоксы, Тихоновы-Самарские и т.д. Я, кстати, теоретическую механику уже давно и довольно прочно забыл. И тем не менее -- решил вполне честно. Пропущенные же математические обоснования корректности предельного перехода, во-первых, математически достаточно очевидны и, во-вторых, с физической точки зрения очевидны абсолютно.

И что при этом существенно: следует отделять мух от котлет. Процесс торможения и процесс дальнейшего подъёма -- физически совершенно различны и никак друг с другом не связаны. Соответственно, и рассматривать их следует независимо. Это же очевидно. Чиста физически.

[Утундрий]

(Оффтоп)

ewert, а как Вы "очевидно догадались", что силу инерции нужно именно в центре масс прилагать? Принцип эквивалентности Эйнштейна использовали, наверное?

[ewert]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #355460 писал(а):

а как Вы "очевидно догадались", что силу инерции нужно именно в центре масс прилагать?

Я не догадывался, это общепринято в школьных задачках. Ну или можно тупо проинтегрировать моменты сил, если нечаянно вдруг запамятовал.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Вот слишком много "принимают", судя по результату...

[мат-ламер]

Большое спасибо за решения. Я сегодня днём решил задачу почти также как решил ewert и пришёл к такому же результату. Но терзают меня смутные сомнения. Почему-то кажется, что что-то не так. Буду ещё думать.