Висит стержень в вагоне. Вагон останавливается

[ewert]

мат-ламер в сообщении #355558 писал(а):

Но терзают меня смутные сомнения. Почему-то кажется, что что-то не так.

Не терзайтесь, да ещё и смутно. Всё ровно так. Хуже того: ровно так эту задачку и принято решать во всех лучших домах.

[Issam]

Надо просто записать законы сохранения момента импульса относительно точки подвеса при резкой остановке (потому что относительно этой точки моменты всех действующих сил равны нулю):
$mv \frac l 2 = I \omega$
и закон сохранения энергии в процессе подъема до максимального отклонения:
$\frac{I \omega^2}{2} = mg \frac l 2 (1 - cos \theta_{max})$

Решение этой простенькой системы и дает искомый ответ:
$cos \theta_{max} = 1 - \frac{3 v^2}{4 g l}$

[мат-ламер]

Issam в сообщении #355823 писал(а):

Надо просто записать законы сохранения момента импульса относительно точки подвеса при резкой остановке (потому что относительно этой точки моменты всех действующих сил равны нулю)

Всё-таки не понял, почему при резкой остановке (по сути, при ударе) должен сохраняться момент импульса.

[Issam]

Момент импульса в общем случае (относительно произвольно выбранной точки) не сохраняется, но...

На стержень действуют лишь сила тяжести, да сила реакции в точке подвеса, других сил нет.
Во время удара линии обеих сил проходят через точку подвеса, т.е. имеют нулевые моменты относительно этой точки.
А условие сохранения момента импульса -- равенство нулю общего момента сил.

[ewert]

Issam в сообщении #355823 писал(а):

Надо просто записать законы сохранения момента импульса относительно точки подвеса при резкой остановке

Боюсь, что это нехорошо. Что значит "резкая остановка"?... Имелась в виду "бесконечно резкая". А если она пусть и резкая, но конечно -- тот момент хоть чуток, но изменится. Тот факт, что при стремлении времени торможения к нулю разность моментов тоже стремится к нулю -- заранее не факт. Так что просто ссылка на закон сохранения момента не пройдёт.

[мат-ламер]

Вроде разобрался. Что мне не нравилось с самого начала, так это вопрос - куда девается часть кинетической энергии стержня в момент остановки его верхнего конца. До остановки его энергия была $mv^2/2$, а сразу после остановки - $3mv^2/8$. В точке подвеса стержень испытывает удар. Но мне казалось, что этот удар абсолютно упругий и энергия внешней системе (поезд + Земля) передаться не может. Даже подозревал, что момент импульса не будет выполнятся, а часть этого момента передастся Земле. Теперь думаю, что удар в точке подвеса нелься считать абсолютно упругим. При той абстрактной формулировке из задачника (мгновенная остановка), энергия в виде теплоты должна выделится в точке подвеса. Если остановка не мнгновенная, то эта энергия выделится на тормозах поезда. Что касается моего предыдущего поста, то я просто не правильно прочитал сообщение Isaam. Момент импульса надо рассматривать не относительно точки подвеса (которая вначале движется, а затем останавливается), а относительно неподвижной точки, в которой в момент остановки будет находится точка подвеса. Теперь вроде всё понятно.

[Issam]

ewert в сообщении #355971 писал(а):

Issam в сообщении #355823 писал(а):

Надо просто записать законы сохранения момента импульса относительно точки подвеса при резкой остановке

Боюсь, что это нехорошо. Что значит "резкая остановка"?... Имелась в виду "бесконечно резкая". А если она пусть и резкая, но конечно -- тот момент хоть чуток, но изменится. Тот факт, что при стремлении времени торможения к нулю разность моментов тоже стремится к нулю -- заранее не факт. Так что просто ссылка на закон сохранения момента не пройдёт.

Это одинаково нехорошо при любом подходе, в том числе и при Вашем.
Вы в таком случае должны будете интегрировать момент силы тяжести, что Вы благополучно проигнорировали, сославшись на мгновенность удара

мат-ламер в сообщении #355995 писал(а):

При той абстрактной формулировке из задачника (мгновенная остановка), энергия в виде теплоты должна выделится в точке подвеса.

Да, должно получиться так, можно считать, что точка подвеса неупруго налетела на нечто очень тяжелое, и в результате мгновенно остановилась.

мат-ламер в сообщении #355995 писал(а):

Момент импульса надо рассматривать не относительно точки подвеса (которая вначале движется, а затем останавливается), а относительно неподвижной точки, в которой в момент остановки будет находится точка подвеса.

Вы правы. Мне следовало бы это оговорить, я как-то по умолчанию подразумевал, что имеется в виду положение точки подвеса, когда "процесс пошел", что называется, -- она с этого момента неподвижна.

[Утундрий]

А давайте к нему еще одно звено привесим? Для антиресу, а?

[ewert]

Issam в сообщении #356088 писал(а):

Это одинаково нехорошо при любом подходе, в том числе и при Вашем.
Вы в таком случае должны будете интегрировать момент силы тяжести, что Вы благополучно проигнорировали, сославшись на мгновенность удара

Почему?... Про моём -- всё просто замечательно. Момент силы тяжести ограничен, а промежуток времени равен нулю, вот интеграл и равен нулю. Кроме того, проблема отнюдь не только в силе тяжести, но и она тоже не проблема. При "моём" подходе (на самом деле он общепринят в таких задачах).

А вот слова про "сохранении момента относительно подвеса" -- для меня загадка. Точка отсчёта задаёт неинерциальную систему отсчёта. Как можно говорить о каком-то сохранении?... (Напомню: формально никакого сохранения и нет.)

[Issam]

ewert в сообщении #356106 писал(а):

Issam в сообщении #356088 писал(а):
Это одинаково нехорошо при любом подходе, в том числе и при Вашем.
Вы в таком случае должны будете интегрировать момент силы тяжести, что Вы благополучно проигнорировали, сославшись на мгновенность удара

Почему?... Про моём -- всё просто замечательно. Момент силы тяжести ограничен, а промежуток времени равен нулю, вот интеграл и равен нулю.

Ну... в этом случае и у меня нет никаких проблем. Промежуток времени равен нулю -- стало быть, смещение тоже равно нулю (скорости-то ограничены). Значит, моменты сил тоже равны нулю. Больше ничего не требуется.

ewert в сообщении #356106 писал(а):

При "моём" подходе (на самом деле он общепринят в таких задачах).

Я не спорю, что можно интегрировать уравнения движения в каждой задаче. Но ведь законы сохранения -- это и есть общие интегралы движения, так что можно использовать готовый результат, и не возиться с интегрированием. Хотя, конечно, на вкус и цвет...

ewert в сообщении #356106 писал(а):

А вот слова про "сохранении момента относительно подвеса" -- для меня загадка. Точка отсчёта задаёт неинерциальную систему отсчёта.

А никто не предлагал пользоваться неинерциальной системой отсчета, имеющей бесконечное ускорение в течение бесконечно малого промежутка времени. И я не знаю, что делать с такими СО, и зачем вообще они нужны.

Вообще-то, если пренебречь временем остановки (не включать в рассмотрение), точка подвеса задает две инерциальные системы отсчета: до столкновения , и после столкновения (столкновение считается мгновенным, не забыли?). Можете записывать законы сохранения в любой ИСО, но проще, конечно, в той, где точка подвеса уже стоит. Я уже пояснял это.

ewert в сообщении #356106 писал(а):

Точка отсчёта задаёт неинерциальную систему отсчёта. Как можно говорить о каком-то сохранении?... (Напомню: формально никакого сохранения и нет.)

Ну Вы бы уж тогда хоть самому себе не противоречили, что ли...
Вы же пользовались законом сохранения энергии