Норма композиции операторов.

[LK4D4]

Задача оценить норму композиции операторов: $e^{t\Delta}e^{tD}e^{tV(x)}$. Действует $\mathcal L_2 \to \mathcal L_2$.
$\Delta$ - оператор Лапласа, $D$ - дифференциальный оператор $\frac{\partial}{\partial x}$. Как оценить эту норму не подставляя явных выражений полугрупп? Если что-то не дописал — спрашивайте.

[Хорхе]

А третий -- это что? Умножение на эту функцию? И вообще, какая $V(x)$?

[LK4D4]

Да, там просто умножение. $V(x)$ можно взять непрерывной.

[Хорхе]

А разрешается не знать явных выражений, но знать, что первая и вторая полугруппы -- сжимающего типа?

[terminator-II]

Хорхе в сообщении #355193 писал(а):

вторая полугруппы -- сжимающего типа?

Вам даже краевых условий не написали, а Вы уже знаете, что полугруппа сжимающаяя. Экий Вы телепат.
Кстати, а что Вы понимаете под сжимающей полугруппой? Сжимающий оператор по стандартной терминологии это оператор с нормой $<1$. Ну там принцип сжимающих отображений и т.п.
Так вот полугруппа $e^{tD}$ не является сжимающей в этом смысле ни в каком разуном пространстве.

[Хорхе]

Позвольте, это автор как раз ничего не написал. Я решил, что речь идет об $L^2(\mathbb R)$, где, как я всегда думал, полугруппа теплопроводности сжимающая.

Во-вторых, полугруппа сдвигов -- она очевидно сжимающая в $L^2(\mathbb R)$!


Ага, не дочитал Ваше сообщение. Сжимающая полугруппа -- это та, у которой нормы не превосходят единичку.

Вообще, я писал не про сжимающую полугруппу, а про полугруппу сжимающего типа. У нее экспоненциальные оценки на норму.

[LK4D4]

Разрешается все, что не запрещается, я думаю. А где почитать про полугруппы сжимающего типа? Судя по книжке Рида и Саймона все сильно непрерывные полугруппы являются таковыми(хотя сам термин там не употребляется), если я их правильно понимаю.

[Хорхе]

Engel, Nagel One-parameter semigroups ...

[terminator-II]

Хорхе в сообщении #355213 писал(а):

Вообще, я писал не про сжимающую полугруппу, а про полугруппу сжимающего типа. У нее экспоненциальные оценки на норму

напишите пожалуйста явно эти эксроненциальные оценки на норму в случае $e^{tD}$

[Хорхе]

Так тут (и для полугруппы теплопроводности) норма просто оценивается 1.

[ewert]

Хорхе в сообщении #355443 писал(а):

Так тут (и для полугруппы теплопроводности) норма просто оценивается 1.

Просто в точности равна 1. Но это если на именно всей оси (тогда $iD$ самосопряжён и экспонента, соответственно,унитарна).

[terminator-II]

Хорхе в сообщении #355443 писал(а):

Так тут (и для полугруппы теплопроводности) норма просто оценивается 1.

Вы это называете экспоненциальной оценкой? Это странно и неэквивалентно стандартному.

Вот еслиб мы решали уравнение теплопроводности в ограниченной области $M$ с нулевыми условиями на границе то там, да, была бы экспоненциальная оценка:

$$\|e^{t\Delta}\|_{L^2(M)\to L^2(M)}\le c_1e^{-c_2t}$$

-- Thu Sep 23, 2010 18:03:57 --

ewert в сообщении #355445 писал(а):

Просто в точности равна 1. Но это если на именно всей оси (тогда $iD$ самосопряжён и экспонента, соответственно,унитарна).

что тривиально ибо $e^{tD}$ просто сдвиг

[ewert]

(Оффтоп)

terminator-II в сообщении #355494 писал(а):

что тривиально ибо $e^{tD}$ просто сдвиг

Вот что именно сдвиг -- как раз и не вполне тривиально, чтоб до этого дойти -- надо хоть сколько-то поковыряться, унитарность же -- тривиальна воистину. И, кстати, какой может быть сдвиг при условии наличия граничных условий, если они вместе с границами и впрямь наличествуют.

Но это я так.

[Хорхе]

Там в другую сторону экспоненциальные оценки. В википедии такие полугруппы названы квазисжимающими. Возможно, это более распространенная терминология (термин "сжимающего типа" я видел все же не у Энгеля с Нагелем, а у Иосиды). Ну и, если мне не изменяет память, в гильбертовом пространстве это равносильно такому условию на генератор (типа коэрцитивности, только наоборот): $(Ax,x)\le c\|x\|^2$. Собственно, при $c=0$ это как раз сжатие.

[terminator-II]

ewert в сообщении #355510 писал(а):

И, кстати, какой может быть сдвиг при условии наличия граничных условий,

Вы про какие граничные условия для уравнения первого порядка говорите?

ewert в сообщении #355510 писал(а):

Вот что именно сдвиг -- как раз и не вполне тривиально, чтоб до этого дойти -- надо хоть сколько-то поковыряться,

не надо ковыряться чтоб решить уравнение $u_t=u_x$ его решение очевидно

-- Thu Sep 23, 2010 18:46:45 --

Хорхе в сообщении #355512 писал(а):

Там в другую сторону экспоненциальные оценки

В другую это в какую?