Как изменится период колебаний маятника?

[мат-ламер]

Задача $14.76$ из того же сборника (что и две предыдущие мои задачи). "Полый шар заполнен водой и совершает колебания на нити. Как изменится период колебаний, если вода замёрзнет. Изменение объёма при замерзании не учитывать". Первая мысль, что период не изменится. Однако, если учесть, что нить подвеса от охлаждения немного сократится, то уменьшится. Смотрим ответ. "Увеличится". В чём дело? (Кстати, электронные кварцевые часы при охлаждении немного замедляются.)

[Утундрий]

Качение бочек нумер два...

[ewert]

мат-ламер в сообщении #354904 писал(а):

Изменение объёма при замерзании не учитывать". Первая мысль, что период не изменится. Однако, если учесть, что нить подвеса от охлаждения немного сократится, то уменьшится.

Бредовая задачка. Ежели не учитывается изменение объёма, то тем более не следует учитывать длины подвеса. И тогда вопрос сводится к элементарному: "Как изменится нечто при условии, что оно не изменится".

А кто такие идиотские вопросики сочиняет, я запамятовал?...

-- Вт сен 21, 2010 22:35:46 --

Утундрий в сообщении #354906 писал(а):

Качение бочек нумер два...

Э-э, пардон. Про бочки вопросик был -- всё же вполне содержательным. В отличие от нонешнего.

[мат-ламер]

Задача $14.1$ из того же сборника. "Воронка с песком подвешена на нити. Будут ли изменяться период колебаний воронки по мере высыпания песка". Вот тут уже явно видна причина изменения периода колебаний маятника. Центр тяжести груза будет постепенно понижаться. А в конце центр тяжести поднимется. Смотрим ответ. "Не будет". Не логично.

-- Вт сен 21, 2010 22:49:10 --

Задача 14.3 из того же сборника. "Маятниковые часы немного спешат. Что нужно сделать, чтобы они пошли верно: опустить их в шахту или поднять на гору?" По-моему, можно по-любому. Смотрим ответ. "Поднять на гору". Был вопрос про задачник. А.В.Русаков, В.Г.Сухов. "Сборник задач по физике. Механика." Задачи предлагались в качестве вступительных во многие ВУЗы и на олимпиадах.

[Утундрий]

ewert в сообщении #354909 писал(а):

Про бочки вопросик был -- всё же вполне содержательным. В отличие от нонешнего.

Да тут ровно то же самое - изменение момента инерции вследствие замерзания.
Очевидно, авторы сборника любят замерзание

[ewert]

мат-ламер в сообщении #354912 писал(а):

По-моему, можно по-любому. Смотрим ответ. "Поднять на гору"

Нет, в данном случае правильно (формально говоря). При опускании в шахту, если не слишком глубоко, ускорение св.п. будет всё-таки увеличиваться. Из-за существенной неравномерности плотности Земли. Где-то здесь даже была тема на этот счёт.

Впрочем, авторы наверняка об этом даже и не задумывались. Общий вывод: самое лучшее, что можно сделать с этим задачечником -- выкинуть.

[мат-ламер]

Насчёт маятника с водой и льдом. Задача действительно содержательная. Пришёл к выводу, что маятник с водой будет иметь меньший период колебаний. Во время колебаний вода будеть одинаковую ориентацию относительно горизонта, а не относительно ёмкости, которую она заполняет. Т.е. вода относительно стенок будет раскачиваться немного туда-сюда. В то время лёд будет неподвижен относительно стенок, а его уровень относительно горизонта будет слегка раскачиваться. Т.е. для льда нужно затратить небольшую работу для его поворота, а для воды нет.

[ewert]

Задача, тем не менее, откровенно нехороша. Когда говорят о маятнике -- неявно подразумевают математический маятник. А в этом приближении колебания или нет воды пренебрежимо малы. Вот если б авторы честно оговорили: "колебания считать не малыми, и диаметр шара по сравнению с длиной подвеса тоже" -- тогда бы ладно. Только они чего-то застеснялись.

[Утундрий]

ewert в сообщении #355598 писал(а):

Только они чего-то застеснялись.

Точнее "ниасилили".

[BISHA]

мат-ламер в сообщении #354904 писал(а):

Полый шар заполнен водой и совершает колебания на нити. Как изменится период колебаний, если вода замёрзнет.

В твердом теле всю массу можно поместить в центр масс и все. Но при колебаниях молекулы жидкости испытывают разные центростремительные ускорения, т. е. внутри и давления различаются, что должно привести к диффузии молекул. Для выравнивания давления в верхней части шара молекул должно быть чуть больше чем в нижней части, тогда центр тяжести приподнимется по отношению к твёрдому телу. Ч.Т.Д.
А какой ответ в решебнике?

[rotozeev]

Задача очень похожа на модную нынче тему "supersolid" (изменение периода колебания крутильного маятника, заполненного гелием). По аналогии можно сказать: при замерзании период колебаний уменьшится.

[ewert]

BISHA в сообщении #355833 писал(а):

А какой ответ в решебнике?

не знаю, но заранее скажу, что глюпий (во всяком случае, необоснованный).

И,кстати, добавлю: центростремительные ускорения сами по себе к диффузиям отношения явно не имеют.

[мат-ламер]

BISHA в сообщении #355833 писал(а):

А какой ответ в решебнике?

Увеличится. (см. первый пост).

[Issam]

Для того, чтобы дать ответ на качественном уровне (т.е. больше-меньше), достаточно рассмотреть полную энергию маятника:
$Mgd (1-cos\theta) + \frac{M v^2}{2} + \frac{I \omega^2}{2}$, где d -- расстояние от точки подвеса до центра масс маятника, М - полная масса, v - скорость центра масс, I - момент инерции относительно центра масс тех элементов, что совершают вращательное движение.

Если расширением воды при замерзании пренебрегаем, то расстояние до центра масс не меняется, соответственно, соотношение между угловой и линейной скоростями остается тем же. Общая масса, естественно, тоже не меняется.

Но! -- изменяется выражение для кинетической энергии, т.к. вода в жидком состоянии не совершает вращательного движения (если пренебречь вязкостью). Даже при учете вязкости вращательное движение воды будет иметь меньшую амплитуду.

Поэтому, т.к. выражение для вращательной энергии при замерзании воды будет содержать больше членов, то и амплитуда скорости будет меньше (при той же амплитуде отклонения). Соответственно, раз система движется медленнее, период будет больше.

[rotozeev]

Issam в сообщении #355965 писал(а):

Для того, чтобы дать ответ на качественном уровне (т.е. больше-меньше), достаточно рассмотреть полную энергию маятника:
$Mgd (1-cos\theta) + \frac{M v^2}{2} + \frac{I \omega^2}{2}$, где d -- расстояние от точки подвеса до центра масс маятника, М - полная масса, v - скорость центра масс, I - момент инерции относительно центра масс тех элементов, что совершают вращательное движение.

Если расширением воды при замерзании пренебрегаем, то расстояние до центра масс не меняется, соответственно, соотношение между угловой и линейной скоростями остается тем же. Общая масса, естественно, тоже не меняется.

Но! -- изменяется выражение для кинетической энергии, т.к. вода в жидком состоянии не совершает вращательного движения (если пренебречь вязкостью). Даже при учете вязкости вращательное движение воды будет иметь меньшую амплитуду.

Поэтому, т.к. выражение для вращательной энергии при замерзании воды будет содержать больше членов, то и амплитуда скорости будет меньше (при той же амплитуде отклонения). Соответственно, раз система движется медленнее, период будет больше.

Нет :) Я такое уже делал (рассмотрение воды как крутящегося диска), кстати в этой энергии, надо заменить скорости на угловые. И того получаем 2 степени свободы. Лагранжиан:
$L=\dfrac{Md^2\dot\varphi^2}{2}+\dfrac{I\dot\alpha^2}{2}+Mgd\cos\varphi$
где $\varphi$ - угол отклонения маятника, $\alpha$ - поворот "воды".
Так вот, $\alpha$ - это циклическая переменная, входит только с производной по времени, поэтому колебания маятника никак не влияют на закручивание диска. Оно не меняется со временем.