Уравнение с 2 переменными с рядами

[zZoMROT]

При каких $x$, $n \in\mathbb{N} $ $3\sum\limits_{k=0}^{x-1} k(k+1) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} x^{2^{k}}(x^{2^{k}} - 1)$ ?

[Legioner93]

Левая сумма у вас — кубический многочлен от $x$. Найти его явный вид можно методом неопределенных коэффициентов, например. Т.е. запишите $3\sum\limits_{k=0}^{x-1} k(k+1)=ax^3+bx^2+cx+d$ и подставьте любые 4 значения $x$. Справа же у вас т.н. "телескопический ряд", сумма которого очень просто записывается (там почти все слагаемые взаимно уничтожаются). Чтобы это увидеть, перепишите сумму как $\sum\limits_{k=0}^{n-1} x^{2^{k+1}}-\sum\limits_{k=0}^{n-1} x^{2^{k}}$. Выписывайте формулы, приравнивайте. Правда, у меня получилось в итоге $x^3=x^{2^n}$, что странно:) Скорее всего, где-то ошибся. Ну а в общем, думаю, идея понятна!

[zZoMROT]

О! У меня получилось то же самое, вероятно ответ, что таких $x$ и $n$ не существует. Только вот почему левая часть - кубический многочлен?