Потенциал шара во внешнем электрическом поле

[Tino]

Имеется поле с известным распределением потенциала $\varphi(\vec r)$. В него помещается незаряженный проводящий шар. Получается, что потенциал шара зависит только от того потенциала, который был в его центре. Но как такое возможно? Неужели, изменив потенциал поля во всех точках, кроме той, где будет находиться центр шара, и поместив шар в это измененное поле, мы получим тот же потенциал шара? Как такое получается?

[Gravist]

Tino в сообщении #354404 писал(а):

изменив потенциал поля во всех точках, кроме той, где будет находиться центр шара

А вот как такое м.б. возможно? В этой точке потенциал также изменится!

[Tino]

Но ведь если потенциал задан как произвольная функция, то он может быть каким попало, разве нет?
Чего-то я не понимаю. Похоже чего-то основного...

[Утундрий]

Tino в сообщении #354404 писал(а):

Получается, что потенциал шара зависит только от того потенциала, который был в его центре.

Как именно получается?

[Tino]

Честно говоря, из ответа к задаче . Этот факт меня сильно беспокоит и не дает нормально подумать.

[Утундрий]

Приведите дословный текст задачи и ответа к ней.

[Tino]

Незаряженный проводящий шар вносится в электрическое поле с известным распределением потенциала $\varphi(\vec r)$. Каким будет потенциал шара?
Ответ: $\varphi = \varphi(\vec r_0)$, где $\vec r_0$ - радиус-вектор центра шара.

[Утундрий]

Тогда так. Влиянием проводника на источники первоначального поля пренебрегаем и все сводится лишь к возникновению дополнительного поля, приводящего к тому, что поверхность шара становится экпипотенциальной (для поля "старое+индуцированное"). Энергия постоянна, так что осредненный по поверхности старый потенциал даст его новое (уже постоянное) значение. Предположим, что источников первоначального поля в месте, куда помещен шар не имеется, тогда старый потенциал - гармоническая функция и можно применить теорему о среднем по поверхности для гармонических функций, откуда и воспоследует Ответ.

Как-то так, наверное...

[BISHA]

Tino в сообщении #354404 писал(а):

Имеется поле с известным распределением потенциала $\varphi(\vec r)$. В него помещается незаряженный проводящий шар.

Шар эквипотенциальная поверхность, но сам потенциал можем считать как для заряда помещенного в центр шара. Т. е. в любой точке внутри шара и на поверхности он равен потенциалу в центре шара.
Так?

[Утундрий]

BISHA
Ничего не понял...

Суть моего "решение" в следующем: было какое-то произвольное поле, засунули в него шар, поле изменилось посредством возникновения индуцированных поверхностных зарядов так, что силовые линии стали поверхности перпендикулярны, а сам потенциал - постоянным вдоль поверхности. Энергия же при этом не изменилась, так что поверхностный интеграл до и после один и тот же. Теперь нужно учесть, что первоначальное поле не абы какое, а гармоническое в области занятой шаром. А в этом случае поверхностный интеграл зависит только от значения поля в центре сферы (у Тихонова-Самарского можно посмотреть доказательство). Ну вот такая замечательная это поверхность - сфера. Три принципиальных момента: равенство поверхностных интегралов, гармоничность первоначального потенциала, сферичность поверхности. Уберите хотя бы один и все развалится.

[BISHA]

Это по школьному.

[ewert]

Утундрий в сообщении #354488 писал(а):

А в этом случае поверхностный интеграл зависит только от значения поля в центре сферы (у Тихонова-Самарского можно посмотреть доказательство). Ну вот такая замечательная это поверхность - сфера. Три принципиальных момента: равенство поверхностных интегралов, гармоничность первоначального потенциала

Абалдеть.

На самом деле попросту потому, что суммарный потенциал от добавленных (наведённых на поверхности шара) зарядов равен нулю -- т.к. сумма этих зарядов равна нулю, а расстояния до центров одинаковы.

И не при чём тут ни гармоничность поля, ни какие-то доказательства. Существенно лишь, что потенциал точечного заряда зависит лишь от расстояния, но не от направления, и что в толще проводника заряды всегда отсутствуют.

[Issam]

во внешнем поле заряды просто перераспределяются по поверхности шара, что не приводит к изменению потенциала, создаваемого этими зарядами в центре шара, т.к. расстояние от них до центра -- не меняется.
Вот и все.

Впрочем, ewert написал то же самое, чуть раньше.

[Утундрий]

ewert в сообщении #354618 писал(а):

И не при чём тут ни гармоничность поля

В задаче спрашивалось о значении потенциала на поверхности сферы. А теперь взгляните, где поверхность, а где центр. Как без теоремы о среднем одно к другому сводить будем?

[ewert]

Утундрий в сообщении #354714 писал(а):

Как без теоремы о среднем одно к другому сводить будем?

Никак. Общеизвестно, что потенциал во всём проводнике (т.е. вплоть до поверхности) постоянен -- не из-за какой-то там гармоничности, а просто по определению проводника.