Плотность множества в точке

[Виктор Викторов]

"ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Пусть $A$ и $B$ -- подмножества топологического пространства $X$; $A$ называется плотным в $B$, если замыкание $A$ содержит $B$ (...), т. е. если каждая точка из $B$ является точкой прикосновения для $A$."
Р. А. Александрян Э. А. Мирзаханян "Общая топология". Стр. 44-45.

По этому определению множество натуральных чисел (которое, как известно, нигде не плотно) плотно в каждой своей точке. Правда, оба этих факта не противоречат друг другу (множество нигде не плотно тогда и только тогда, когда открытое ядро его замыкания пусто), но мне такое определение плотности одного множества в другом кажется мало высоко художественным как говорил Зощенко.

Откровенно говоря, я пользуюсь своим определением плотности.

Определение. Множество $A$ топологического пространства $X$ называется плотным в точке $j$ топологического пространства $X$ тогда и только тогда, когда открытое ядро замыкания множества $A$ содержит точку $j$.

По этому определению множество нигде не плотно тогда и только тогда, когда оно не плотно ни в одной точке пространства и всюду плотно тогда и только тогда, когда оно плотно в каждой точке пространства. Также становится ясным, что плотность в точке это своего рода "бытие внутренней точкой второй свежести". Если точка внутренняя точка множества, то она и внутренняя и в замыкании множества (и в ней, конечно, множество плотно), но может быть и ухудшенный вариант: точка не является внутренней точкой множества (и даже может ему не принадлежать), но является внутренней точкой его замыкания и тогда множество в ней плотно.

(Оффтоп)

Кто-нибудь знает как набирать в ТЕГе черточку над буквой?

[paha]

Любую вещь можно назвать трамваем:)

а что хотели решить? В чем разобраться?

[Виктор Викторов]

paha в сообщении #352944 писал(а):

Любую вещь можно назвать трамваем

Совершенно верно. Как я уже писал, предание приписывает эти слова академику Лузину. Но никто не запрещает обсуждать определения. Вот я и хочу обсудить различные определения плотности.

1. Плотность множества в открытом множестве.
2. Плотность множества в произвольном множестве (смотрите первый комментарий).
3. Всюду плотность.
4. Нигде не плотность.

Мне кажется, что моё определение плотности множества в точке дает возможность рассматривать плотность множества в открытом множестве, всюду плотность и нигде не плотность через призму плотности в точке.

Из определения плотности множества в точке следует:
1. Каждое множество плотно в каждой точке открытого ядра своего замыкания (таким образом плотно в каждом непустом подмножестве открытого ядра замыкания) и не плотно во всех остальных точках.
2. Множество нигде не плотно, если оно не плотно ни в одной точке пространства.
3. Множество всюду плотно, если оно плотно в каждой точке пространства.

С моей точки зрения, определение плотности в произвольном множестве с одной стороны нигде не используется (даже Александряном и Мирзаханяном в их собственном учебнике), а с другой стороны ломает идею "подпорченной внутренней точки".

[Someone]

(Оффтоп)

Виктор Викторов в сообщении #352746 писал(а):

Кто-нибудь знает как набирать в ТЕГе черточку над буквой?

\bar A даёт $\bar A$
\overline A даёт $\overline A$
\bar{AB} даёт $\bar{AB}$
\overline{AB} даёт $\overline{AB}$
А вообще, смотрите тему http://dxdy.ru/topic183.html.

[Виктор Викторов]

(Оффтоп)

Someone! Спасибо. И особенно за ссылку.

[Профессор Снэйп]

По Вашему определению множество $\mathbb{Q} \times \{ 0 \}$ не плотно в точке $(0,0)$. Как-то это странно

[Виктор Викторов]

Если мы говорим о множестве $\mathbb{Q} \times \{ 0 \}$ в пространстве $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ со стандартной топологией, то множество $\mathbb{Q} \times \{ 0 \}$ является подмножеством нигде не плотного в $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ множества $\mathbb{R} \times \{ 0 \}$ и поэтому само нигде не плотно в $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$. Что Вы видите странного в том, что нигде не плотное множество не плотно в точке $(0,0)$? Оно не плотно ни в одной точке пространства.

[terminator-II]

Виктор Викторов в сообщении #352746 писал(а):

Определение. Множество $A$ топологического пространства $X$ называется плотным в точке $j$ топологического пространства $X$ тогда и только тогда, когда открытое ядро замыкания множества $A$ содержит точку $j$.

По-моему проще так: множество называется плотным в точке, если его замыкание содержит окрестность этой точки.

-- Fri Sep 17, 2010 19:45:11 --

Виктор Викторов в сообщении #352746 писал(а):

По этому определению множество нигде не плотно тогда и только тогда, когда оно не плотно ни в одной точке пространства и всюду плотно тогда и только тогда, когда оно плотно в каждой точке пространства.

и тут возникает вопрос равносильности определений. По стандартному определению, для того что бы множество $A$было плотно в $B$ достаточно чтобы для любой точки $B$ существовала направленность принадлежащая $A$ и имеющая пределом эту точку. Всего одна направленность, а не целое открытое ядро. Интуитивно это не одно и тоже

[paha]

terminator-II в сообщении #353443 писал(а):

и тут возникает вопрос равносильности определений

изначально равносильность и не предполагалась... топикстартер говорит, что его подход более правилен

-- Пт сен 17, 2010 20:45:38 --

так случалось в истории математики... хоть знаменитая история с понятием "компактности"

[Виктор Викторов]

terminator-II в сообщении #353443 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #352746 писал(а):

Определение. Множество $A$ топологического пространства $X$ называется плотным в точке $j$ топологического пространства $X$ тогда и только тогда, когда открытое ядро замыкания множества $A$ содержит точку $j$.

По-моему проще так: множество называется плотным в точке, если его замыкание содержит окрестность этой точки.

Хорошая формулировка. Тогда, если точка внутренняя для множества, то существует её окрестность, содержащаяся как в множестве так и в его замыкании, если же точка не является внутренней, но множество плотно в ней, то существует её окрестность, содержащаяся в замыкании множества.

terminator-II в сообщении #353443 писал(а):

По стандартному определению, для того что бы множество $A$было плотно в $B$ достаточно чтобы для любой точки $B$ существовала направленность принадлежащая $A$ и имеющая пределом эту точку.

О каком стандартном определении плотности одного множества в другом мы говорим?
Определение П. С. Александрова в его книге «Введение в теорию множеств и общую топологию» страница 105 «Множество $M$ называется плотным в открытом множестве $G \subseteq X$, если $G \subseteq [M]_X$»
или об
«ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Пусть $A$ и $B$ -- подмножества топологического пространства $X$; $A$ называется плотным в $B$, если замыкание $A$ содержит $B$ (...), т. е. если каждая точка из $B$ является точкой прикосновения для $A$.»
Р. А. Александрян Э. А. Мирзаханян "Общая топология". Стр. 44-45.

[terminator-II]

Виктор Викторов в сообщении #353482 писал(а):

О каком стандартном определении плотности одного множества в другом мы говорим?

о любом из этих двух:

Виктор Викторов в сообщении #353482 писал(а):

О каком стандартном определении плотности одного множества в другом мы говорим?
Определение П. С. Александрова в его книге «Введение в теорию множеств и общую топологию» страница 105 «Множество $M$ называется плотным в открытом множестве $G \subseteq X$, если $G \subseteq [M]_X$»
или об
«ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Пусть $A$ и $B$ -- подмножества топологического пространства $X$; $A$ называется плотным в $B$, если замыкание $A$ содержит $B$ (...), т. е. если каждая точка из $B$ является точкой прикосновения для $A$.»
Р. А. Александрян Э. А. Мирзаханян "Общая топология". Стр. 44-45.

а что такое $ [M]_X$ разве не замыкание? По-моему эти определения одинаковы. В первом определении зачем-то еще требуется открытость...

[Виктор Викторов]

terminator-II в сообщении #353487 писал(а):

а что такое $ [M]_X$ разве не замыкание?

$[M]_X$ – замыкание в обозначениях книги П. С. Александрова.

terminator-II в сообщении #353487 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #353482 писал(а):

О каком стандартном определении плотности одного множества в другом мы говорим?

о любом из этих двух:

Виктор Викторов в сообщении #353482 писал(а):

О каком стандартном определении плотности одного множества в другом мы говорим?
Определение П. С. Александрова в его книге «Введение в теорию множеств и общую топологию» страница 105 «Множество $M$ называется плотным в открытом множестве $G \subseteq X$, если $G \subseteq [M]_X$»
или об
«ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Пусть $A$ и $B$ -- подмножества топологического пространства $X$; $A$ называется плотным в $B$, если замыкание $A$ содержит $B$ (...), т. е. если каждая точка из $B$ является точкой прикосновения для $A$.»
Р. А. Александрян Э. А. Мирзаханян "Общая топология". Стр. 44-45.

terminator-II в сообщении #353487 писал(а):

По-моему эти определения одинаковы. В первом определении зачем-то еще требуется открытость...

Нет не одинаковы. Требование открытости $G$ меняет всю картину (и по-моему разумно). Александров вообще не ставит вопрос об плотности не в открытом множестве. И получается, что каждое множество плотно в открытом ядре своего замыкания и каждом открытом подмножестве этого ядра. Мне кажется разумным, чтобы множество было плотным в каждом подмножестве открытого ядра замыкания (включая неоткрытые подмножества).
А по Александряну и Мирзаханяну множество натуральных чисел (которое, как известно, нигде не плотно) плотно в каждой своей точке. И, вообще, тогда каждое множество плотно в каждой точке своего замыкания (включая плотность в каждой точке самого множества). Какой в этом смысл?

[terminator-II]

Хорошо берем определение Александрова. Вы умеете доказывать, что оно эквивалентно Вашему?

-- Fri Sep 17, 2010 21:44:19 --

Виктор Викторов в сообщении #353499 писал(а):

А по Александряну и Мирзаханяну множество натуральных чисел (которое, как известно, нигде не плотно) плотно в каждой своей точке. И, вообще, тогда каждое множество плотно в каждой точке своего замыкания (включая плотность в каждой точке самого множества). Какой в этом смысл?

как я понял, "плотность в точке" это Ваше изобретение, в книжках про это не говорят. Хотя, конечно, локализовать понятие "всюду плотность" было бы разумно.

[Виктор Викторов]

terminator-II в сообщении #353504 писал(а):

Хорошо берем определение Александрова. Вы умеете доказывать, что оно эквивалентно Вашему?

Пусть множество $M$ плотно в открытом множестве $C$ по Александрову. Множество $C$ является открытой окрестностью каждой своей точки. И по моему определению множество $M$ плотно в каждой точке множества $C$.
Обратно. Если множество $M$ плотно в точке $t$ по моему определению, то существут открытая окрестность точки $t$, содержащаяся в замыкании $M$. И по определению Александрова множество $M$ плотно в этой открытой окрестности.
Но, конечно, по определению Александрова множество $M$ не является плотным в каждом неоткрытом подмножестве открытого ядра замыкания $M$, а по моему определению является.

Виктор Викторов в сообщении #353499 писал(а):

как я понял, "плотность в точке" это Ваше изобретение, в книжках про это не говорят. Хотя, конечно, локализовать понятие "всюду плотность" было бы разумно.

Да. Это моё изобретение.

[Виктор Викторов]

terminator-II в сообщении #353443 писал(а):

По стандартному определению, для того что бы множество $A$было плотно в $B$ достаточно чтобы для любой точки $B$ существовала направленность принадлежащая $A$ и имеющая пределом эту точку. Всего одна направленность, а не целое открытое ядро.

Точка $b$ принадлежит замыканию множества тогда и только тогда, когда существует направленность, принадлежащая $A$ и имеющая пределом эту точку. По Александряну и Мирзаханяну множество плотно в каждой точке своего замыкания и поэтому

terminator-II в сообщении #353443 писал(а):

что бы множество $A$было плотно в $B$ достаточно чтобы для любой точки $B$ существовала направленность принадлежащая $A$ и имеющая пределом эту точку.

terminator-II в сообщении #353443 писал(а):

и тут возникает вопрос равносильности определений.

По всем определениям множество неплотно во внешних точках.
По определению Александряна и Мирзаханяна множество плотно в каждой точке своего замыкания.
По моему определению множество плотно в каждой точке открытого ядра замыкания и неплотно в каждой граничной точке замыкания.
По определению Александрова множество плотно в каждом открытом подмножестве замыкания и неплотно в каждом неоткрытом подмножестве замыкания, включая каждую граничную точку замыкания. По определению Александрова множество плотно в точке только, если эта точка принадлежит множеству и является открытым единичным множеством.