Выражение для тригонометрической функции

[Skipper]

Интересный вопрос. можно ли выразить какую-нибудь тригонометрическую функцию, или обратную тригонометрическую, например $arctg x$ - в виде формулы, в которой отсутствуют все тригонометрические функции, т.е. выразить нужно в радикалах, ну и еще может присутствовать скажем, $ln N$, где N - может быть представлено в виде какого нибудь выражения?

-- Вт авг 24, 2010 20:38:03 --

На подозрения, что арктангенс и логарифм каким-то образом связаны, наводит то, что неопределенный интеграл от $1/x$ равен $ln |x|$, а интеграл от $1/{(1 + x^{2})}$ равен $arcctg x$.

[gris]

$\arctg x =\int\limits_0^x\dfrac{dt}{1+t^2}$

$\arctg x = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac {(-1)^n x^{2n+1}} {2n+1}$

Через экспоненту ещё

[Skipper]

Нет... интегралов и производных в выражении быть не должно... Через экспоненту - это как?

[meduza]

Благодаря формуле Эйлера, связывающей синус, косинус и экспоненту, можно всё.
$\displaystyle \arctg x = \frac i 2 \ln \frac {1-ix}{1+ix}$

[venco]

В комплексных числах:
$\arctan x = i \log{\sqrt{\dfrac{i+x}{i-x}}}$

[Skipper]

Все это хорошо, спасибо. Только хотелось бы еще от $i$ избавиться. Если мы считаем $arctg x$ , где x - действительное, то хотелось бы получить и выражение для него с действительными членами.

[venco]

Тогда увы. Только бесконечные ряды или произведения.

[Skipper]

Цитата:

Тогда увы. Только бесконечные ряды или произведения.

А это кем-нибудь доказано? Если да, то интересно было бы почитать такое доказательство.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Skipper в сообщении #346897 писал(а):

арктангенс и логарифм каким-то образом связаны

Ещё ряд Тейлора об этом говорит тоже.

[ewert]

venco в сообщении #346914 писал(а):

$\arctan x = i \log{\sqrt{\dfrac{i+x}{i-x}}}$

Логарифм корня -- это не очень хорошо (добавляется ненужная дублирующая неоднозначность). Надо поллогарифма.

[Garik2]

В виде цепной дроби годится? :

[AKM]

Garik2 в удалённом сообщении писал(а):

$arctg = (.1097746e-8+(.5213756e-3+(-.258955494e-8+\quad\ldots\quad+.7739993567e-9*x)*x)*x)*x)*x)*x)$ (сокращение моё; АКМ)

Garik2 в сообщении #348457 писал(а):

И, во-вторых, учел пожелания автора темы.

Если Вы таковым считаете пожелание автора избавиться от $i$, то это не так. Никаких аппроксимаций автор, очевидно, не имел в виду изначально. И Ваш корявый полином --- суть оффтопик. Я удаляю его и спровоцированную им дискуссию с участником ewert. Почему-то мне кажется, что он не будет возражать. Если возражения появятся, я перенесу эту часть в какую-нибудь отдельную тему типа "Глупо аппроксимировать арктангенс полиномом". Или "Глупо или не глупо аппроксимировать арктангенс полиномом?".

Garik2,
предупреждение за утомительный для модерирования офф-топик.

[Garik2]

Глупо сравнивать модератора с Гауссом, который аппроксимацию полиномами элементарных функций считал величайшим достижением математики.

[AKM]

1 неделя отдыха на изучение правил нашего форума.