2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Выражение для тригонометрической функции
Сообщение24.08.2010, 21:32 
Интересный вопрос. можно ли выразить какую-нибудь тригонометрическую функцию, или обратную тригонометрическую, например $arctg x$ - в виде формулы, в которой отсутствуют все тригонометрические функции, т.е. выразить нужно в радикалах, ну и еще может присутствовать скажем, $ln N$, где N - может быть представлено в виде какого нибудь выражения?

-- Вт авг 24, 2010 20:38:03 --

На подозрения, что арктангенс и логарифм каким-то образом связаны, наводит то, что неопределенный интеграл от $1/x$ равен $ln |x|$, а интеграл от $1/{(1 + x^{2})}$ равен $arcctg x$.

 
 
 
 Re: Выражение для тригонометрической функции
Сообщение24.08.2010, 21:43 
Аватара пользователя
$\arctg x =\int\limits_0^x\dfrac{dt}{1+t^2}$

$\arctg x = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac {(-1)^n x^{2n+1}} {2n+1}$

Через экспоненту ещё

 
 
 
 Re: Выражение для тригонометрической функции
Сообщение24.08.2010, 21:46 
Нет... интегралов и производных в выражении быть не должно... Через экспоненту - это как?

 
 
 
 Re: Выражение для тригонометрической функции
Сообщение24.08.2010, 21:47 
Аватара пользователя
Благодаря формуле Эйлера, связывающей синус, косинус и экспоненту, можно всё.
$\displaystyle \arctg x = \frac i 2 \ln \frac {1-ix}{1+ix}$

 
 
 
 Re: Выражение для тригонометрической функции
Сообщение24.08.2010, 21:49 
В комплексных числах:
$\arctan x = i \log{\sqrt{\dfrac{i+x}{i-x}}}$

 
 
 
 Re: Выражение для тригонометрической функции
Сообщение24.08.2010, 21:57 
Все это хорошо, спасибо. Только хотелось бы еще от $i$ избавиться. Если мы считаем $arctg x$ , где x - действительное, то хотелось бы получить и выражение для него с действительными членами.

 
 
 
 Re: Выражение для тригонометрической функции
Сообщение24.08.2010, 21:59 
Тогда увы. Только бесконечные ряды или произведения.

 
 
 
 Re: Выражение для тригонометрической функции
Сообщение24.08.2010, 22:05 
Цитата:
Тогда увы. Только бесконечные ряды или произведения.


А это кем-нибудь доказано? Если да, то интересно было бы почитать такое доказательство.

 
 
 
 Re: Выражение для тригонометрической функции
Сообщение24.08.2010, 22:20 

(Оффтоп)

Skipper в сообщении #346897 писал(а):
арктангенс и логарифм каким-то образом связаны
Ещё ряд Тейлора об этом говорит тоже. :-)

 
 
 
 Re: Выражение для тригонометрической функции
Сообщение30.08.2010, 10:47 
venco в сообщении #346914 писал(а):
$\arctan x = i \log{\sqrt{\dfrac{i+x}{i-x}}}$

Логарифм корня -- это не очень хорошо (добавляется ненужная дублирующая неоднозначность). Надо поллогарифма.

 
 
 
 Re: Выражение для тригонометрической функции
Сообщение30.08.2010, 12:01 
Аватара пользователя
В виде цепной дроби годится? :

Изображение

 
 
 
 Re: Выражение для тригонометрической функции
Сообщение31.08.2010, 22:25 
Аватара пользователя
Garik2 в удалённом сообщении писал(а):
$arctg = (.1097746e-8+(.5213756e-3+(-.258955494e-8+\quad\ldots\quad+.7739993567e-9*x)*x)*x)*x)*x)*x)$ (сокращение моё; АКМ)
Garik2 в сообщении #348457 писал(а):
И, во-вторых, учел пожелания автора темы.
Если Вы таковым считаете пожелание автора избавиться от $i$, то это не так. Никаких аппроксимаций автор, очевидно, не имел в виду изначально. И Ваш корявый полином --- суть оффтопик. Я удаляю его и спровоцированную им дискуссию с участником ewert. Почему-то мне кажется, что он не будет возражать. Если возражения появятся, я перенесу эту часть в какую-нибудь отдельную тему типа "Глупо аппроксимировать арктангенс полиномом". Или "Глупо или не глупо аппроксимировать арктангенс полиномом?".
 !  Garik2,
предупреждение за утомительный для модерирования офф-топик.

 
 
 
 Re: Выражение для тригонометрической функции
Сообщение31.08.2010, 23:28 
Аватара пользователя
Глупо сравнивать модератора с Гауссом, который аппроксимацию полиномами элементарных функций считал величайшим достижением математики.

 
 
 
 Re: Выражение для тригонометрической функции
Сообщение31.08.2010, 23:38 
Аватара пользователя
 !  1 неделя отдыха на изучение правил нашего форума.

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group