Максимальный наибольший общий делитель для слагаемых числа.

[Andrey173]

Имеется некоторое число. Его разложили на 5 слагаемых и нашли наибольший общий делитель. Какое максимальное число могло получится. Подскажите как решить.
P.S. не надо писать решение полностью) хочу сам додумать. просто укажите напрвление
P.S.S. Олимпиадная задачка за 8ой класс

[gris]

Ну слагаемые, очевидно, натуральные. Подумайте, не больше чего может быть общей делитель двух чисел, пяти чисел.

[mihailm]

Число как я понимаю известно?

[Andrey173]

Известно. Да слагаемые натуральные. Возможно он не может быть больше наименьшего слагаемого?

[mihailm]

Так давайте число то

[Andrey173]

Ну вообще 2004. Только решение не пишите)

[mihailm]

Идея такая разбить на пять примерно равных (между собой) и попарно взаимно простых чисел

Извиняюсь что то не то я написал, плохо подумал) щас еще раз хорошо подумаю)

[Andrey173]

Ну если они буду взаимно простыми то их наибольший общий делитель будет равен 1. Это же не максимальный вариант?

[gris]

Ну тут можно учесть, что каждое слагаенмое делится на GCD и вынести его за скобку.

[mihailm]

Это я в прошлом посту про НОК подумал, и то не совсем правильно)

Искомый НОД будет делителем 2004 отсюда можно плясать

[Andrey173]

334?

[mihailm]

да, теперь нужно доказать что больше не получится и привести пример с 334

[Andrey173]

$GCD=\frac{2004}{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}$.
Т.к. частное обратно пропорционально знаменателю, нужно найти наименьший знаменатель так чтобы: 1)Его можно было представить как сумму пяти натуральных чисел 2)При делении 2004 на него получалось натуральное число. Таким знаменателем является 6 (1+1+1+1+2). Если взять число больше то делитель будет меньше. Числа меньше ,удовлетворяющего требованиям, нету.
Слагаемые - 334, 334, 334, 334, 668