Уравнение, содержащее радикалы третьей степени

[math_lover]

Здравствуйте!
Не могу решить это уравнение:

$\[\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{{x - 16}} = \sqrt[3]{{x - 8}}.\]$

Ответы были бы: $\[\begin{array}{l} {x_1} = 8 \\ {x_2} = 8 + \sqrt {\frac{{432}}{7}} \\ {x_3} = 8 - \sqrt {\frac{{432}}{7}} \\ \end{array}\] $
Алгебра 10-11 кл, Колмогоров, 8-е издание, стр 314, № 150 б

Конечно, я старался его решить—но ничего нужного не получилось:

$\[\left\{ \begin{array}{l} \sqrt[3]{x} = a, \\ \sqrt[3]{{x - 16}} = b, \\ \sqrt[3]{{x - 8}} = c. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b = c, \\ {a^3} - {b^3} = 16, \\ {b^3} - {c^3} = - 8. \\ \end{array} \right.\] $

Ответы: $\[\left[ \begin{array}{l} {a_1} = 2, \\ {b_1} = - 2, \\ {c_1} = 0; \\ \end{array} \right. \vee \left[ \begin{array}{l} {a_2} = \sqrt[3]{{8 + \sqrt {\frac{{432}}{7}} }}, \\ {b_2} = - \sqrt[3]{{8 - \sqrt {\frac{{432}}{7}} }}, \\ {c_2} = \sqrt[6]{{\frac{{432}}{7}}}; \\ \end{array} \right. \vee \left[ \begin{array}{l} {a_3} = \sqrt[3]{{8 - \sqrt {\frac{{432}}{7}} }}, \\ {b_3} = - \sqrt[3]{{8 + \sqrt {\frac{{432}}{7}} }}, \\ {c_3} = - \sqrt[6]{{\frac{{432}}{7}}}. \\ \end{array} \right.\] $

Но как эти ответы получить


$\[\begin{array}{l} - {c^3} = - 8 - {b^3} \\ {c^3} = 8 + {b^3} \\ c = \sqrt[3]{{8 + {b^3}}} \\ \end{array}\]$
-------------------------------------------------------------------------

$\[\begin{array}{l} a + b = \sqrt[3]{{8 + {b^3}}} \\ a = \sqrt[3]{{{b^3} + 8}} - b \\ \end{array}\]$
-------------------------------------------------------------------------

$\[\begin{array}{l} {a^3} - {b^3} = 16 \\ {a^3} = 16 + {b^3} \\ a = \sqrt[3]{{16 + {b^3}}} \\ \end{array}\]$
-------------------------------------------------------------------------

$\[\sqrt[3]{{{b^3} + 8}} - b = \sqrt[3]{{{b^3} + 16}}\]$

Ещё лучше! (или труднее...)

$\[\begin{array}{l} {b^3} = z \\ \sqrt[3]{{z + 8}} - \sqrt[3]{{z + 16}} = \sqrt[3]{z} \\ \sqrt[3]{z} + \sqrt[3]{{z + 16}} = \sqrt[3]{{z + 8}} \\ \end{array}\]$

Почти как в начале $\[\begin{array}{l} {z_1} = - 8 \\ {z_2} = - 8 + \sqrt {\frac{{432}}{7}} \\ {z_3} = - 8 - \sqrt {\frac{{432}}{7}} \\ \end{array}\] $

Я не знаю Может у кого в решебнике есть что-то похожее или свои идеи? С двумя переменными я смог решить, например:

$\[\frac{{\sqrt[7]{{12 + x}}}}{x} + \frac{{\sqrt[7]{{12 + x}}}}{{12}} = \frac{{64}}{3}\sqrt[7]{x}\] $

А с тремя ни одно еще не получилось... Спасибо за помощь.

[gris]

Я бы использовал явную симметрию в формулах. Для простоты обозначил бы $y=x-8$, да и возвёл бы уравнение в куб.

[mihailm]

Если решать авторским способом,
то удобно как сказал gris y=x-8, потом делить на корень кубический из y
1/y переименовать в t и далее просто

[math_lover]

Что-то я не "врубаюсь"
Как gris сказал:

$\[\begin{array}{l} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{{x - 16}} = \sqrt[3]{{x - 8}} \\ y = x - 8 \\ \sqrt[3]{{y + 8}} + \sqrt[3]{{y - 8}} = \sqrt[3]{y} \\ \end{array}\] $


$\[{\left( {\sqrt[3]{{y + 8}} + \sqrt[3]{{y - 8}}} \right)^3} = y\]$ Так?

А mihailm я наверное тоже не понял:

$\[\sqrt[3]{{y + 8}} + \sqrt[3]{{y - 8}} = \sqrt[3]{y}\] $

Цитата:

потом делить на корень кубический из y

$\[\sqrt[3]{{\frac{{y + 8}}{y}}} + \sqrt[3]{{\frac{{y - 8}}{y}}} = 1\]$

Цитата:

1/y переименовать в t и далее просто

Что-то не так Можете поправить на правильный путь..?

[gris]

Погодите делить. Возводите в куб.
$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$

[math_lover]

Ну ладно:

$\[\begin{array}{l} {\left( {\sqrt[3]{{y + 8}} + \sqrt[3]{{y - 8}}} \right)^3} = y \\ y + 8 + y - 8 + 3\sqrt[3]{{\left( {y + 8} \right)\left( {y - 8} \right)}}\left( {\sqrt[3]{{y + 8}} + \sqrt[3]{{y - 8}}} \right) = y \\ 2y + 3\sqrt[3]{{\left( {y + 8} \right)\left( {y - 8} \right)}}\left( {\sqrt[3]{{y + 8}} + \sqrt[3]{{y - 8}}} \right) = y \\ \end{array}\] $

$\[y + 3\sqrt[3]{{\left( {y + 8} \right)\left( {y - 8} \right)}}\left( {\sqrt[3]{{y + 8}} + \sqrt[3]{{y - 8}}} \right) = 0\] $

А дальше не знаю

[gris]

Самая последняя скобка, где сумма радикалов, чему равна? Не $\sqrt [3] y$ разве?
Замените и выносите это за скобку.
Первый корень, выходи!
Хотя лучше было бы оставить $-y$ в правой части и снова возвести в куб.

[math_lover]

Большое спасибо!

$\[\begin{array}{l} y + 3\sqrt[3]{{\left( {y + 8} \right)\left( {y - 8} \right)}}\sqrt[3]{y} = 0 \\ y = - 3\sqrt[3]{{\left( {y + 8} \right)\left( {y - 8} \right)y}} \\ {y^3} = - 27y\left( {y + 8} \right)\left( {y - 8} \right) \\ {y^3} = - 27{y^3} + 1728y \\ 28{y^3} - 1728y = 0 \\ \end{array}\] $
Респект Вам!!!

[mihailm]

А где проверка корней?
Ведь могут посторонние появиться

[gris]

Им неоткуда появиться, но о равносильности преобразований надо сказать, конечно. Возведение в куб, приведение подобных ( не всегда! Но в нашем случае никакого расширения области определения), разложение на множители - что может быть безопаснее?

upd Вот подстановка уравнения в себя же действительно неравносильна, так что проверять нужно.

[mihailm]

gris в сообщении #342021 писал(а):

Им неоткуда появиться, но о равносильности преобразований надо сказать, конечно. Возведение в куб, приведение подобных ( не всегда! Но в нашем случае никакого расширения области определения), разложение на множители - что может быть безопаснее?

Это эмоции, а не математика)

[gris]

А вдруг корни могли потеряться?
Значит, надо проверить каждое действительное число.

Вообще, на вступительном экзамене в подобном случае проверять корни на "чистовике" - дурной тон. Но на черновике это надо сделать обязательно. Я бы и график прикинул. Обидно на первых несложных задачах потерять баллы.

[mihailm]

gris в сообщении #342024 писал(а):

А вдруг корни могли потеряться?
Значит, надо проверить каждое действительное число.

Вообще, на вступительном экзамене в подобном случае проверять корни на "чистовике" - дурной тон. Но на черновике это надо сделать обязательно. Я бы и график прикинул. Обидно на первых несложных задачах потерять баллы.

Первая фраза отличная)
Вторая неверная - на вступ экзаменах за не проверку на чистовике обязательно снизят балл

[gris]

Ну возможно где-то и так. Лучше перестраховаться. Конечно, самое правильное - на консультации выяснить все требования по оформлению.

[mihailm]

Не, я только про этот пример)

gris в сообщении #342021 писал(а):

...но о равносильности преобразований надо сказать, конечно...

Данное преобразование не равносильно, пример привести?