Уравнение, содержащее радикалы третьей степени

[gris]

приводите. Может быть я и упустил что.

[mihailm]

$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x}=1$

А то что этот метод дает посторонние корни это широко известно (в узких кругах) :)

[gris]

Да, Вы правы. Подстановка неравносильна.
В покаяние приведу ещё пример.

$x=1$. Подставим вместо $x$ 1.
$1=1$ - корни все действительные числа.
Проверять, выходит, нужно.

Подставлять-то можно, но потом подставленное надо тащить в системе до конца. и в конце проверять подстановкой. В той задаче из-за нечётности относительно $y$ надо проверить всего два корня.

[mihailm]

Это известная фишка, на нее столько народу попалось)))

[math_lover]

Уравнение как раз с того же номера № 150 а, только один корень подходит:

$$\begin{array}{l} \sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{3x + 1}} = \sqrt[3]{{x - 1}} \\ \sqrt[3]{{x - 1}} - \sqrt[3]{{x + 1}} = \sqrt[3]{{3x + 1}} \\ {\left( {\sqrt[3]{{x - 1}} - \sqrt[3]{{x + 1}}} \right)^3} = \sqrt[3]{{3x + 1}} \\ x - 1 - \left( {x + 1} \right) - 3\sqrt[3]{{x - 1}}\sqrt[3]{{x + 1}}\left( {\sqrt[3]{{x - 1}} - \sqrt[3]{{x + 1}}} \right) = 3x + 1 \\ x - 1 - x - 1 - 3\sqrt[3]{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\sqrt[3]{{3x + 1}} = 3x + 1 \\ - 2 - 3x - 1 = 3\sqrt[3]{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {3x + 1} \right)}} \\ - 3 - 3x = 3\sqrt[3]{{3{x^3} + {x^2} - 3x - 1}} \\ - 27{x^3} - 81{x^2} - 81x - 27 = 81{x^3} + 27{x^2} - 81x - 27 \\ - 108{x^3} - 108{x^2} = 0 \\ \left[ \begin{array}{l} {x_1} = 0, \\ {x_2} = 0, \\ {x_3} = - 1. \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$$

Проверка:

$$\sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{1} \ne \sqrt[3]{{ - 1}}$ $

[arqady]

Это всё потому, что возведение обеих частей равенства $a=-b-c$ в куб: $a^3=-b^3-c^3-3bc(b+c)$
и подстановка $b+c=-a$, что здесь делалось, приводит к $a^3=-b^3-c^3+3abc$.
Поскольку $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$, то это фактически
домножение обеих частей равенства $a+b+c=0$ на $a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc$.
Такое преобразование будет эквивалентным, когда $a^2+b^2+c^2\neq ab+ac+bc$
или когда корень $a^2+b^2+c^2= ab+ac+bc$ является корнем исходного уравнения.
Последнее неравенство означает, что среди чисел $a$, $b$ и $c$ имеются различные.
То бишь если мы не хотим делать в конце тотальную проверку, то вначале надо проверить,
является ли корень системы $a=b=c$ корнем исходного уравнения.
Если да является (такое бывает!), то преобразования будут эквивалентными.
Если нет, - то мы его забракуем в конце.
Если же у системы $a=b=c$ нет корней, то тогда тем более преобразования будут эквивалентными.