2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Следствие из теоремы Ферма
Сообщение16.07.2010, 23:02 
Аватара пользователя


21/01/10
146
Привет,

Я опять с очевидной, по всей видимости задачей.
Требуется доказать следующее утверждение: наименьшее число $e$, для которого $a^e\equiv 1(mod p)$, где $p$ - простое число, не делящее $a$, должно быть делителем $p-1$.
Рассуждения следующие:
Возьмём минимальное $e$ большее 0, для которого $a^e\equiv 1(mod p)$. Это $e$ меньше $p$. Разделим $p-1$ на $e$: $p-1=ke+r$, где $k$ - целое, а $r$ подчиняется следующему неравенству $0\leqslant r < e$.
$a^{p-1} \equiv 1 \equiv a^e \Rightarrow a^{p-1} \equiv a^e \Rightarrow a^{ke+r} \equiv a^e \Rightarrow a^{ke+r}-a^e \equiv 0 \Rightarrow a^e(a^{(k-1)e+r}-1) \equiv 0 \Rightarrow a^{(k-1)e+r}-1 \equiv 0 \Rightarrow a^{(k-1)e+r} \equiv 1$.
Предпоследнее преобразование делается исходя из того, что если ab \equiv 0$, то либо a \equiv 0$ либо b \equiv 0$. В нашем случае a^e \equiv 0$ - неверно по условию.
Проведём вышеописанную операцию k раз и получим $a^{(k-k)e+r} \equiv 1 \Rightarrow a^r \equiv 1$. Однако $e$ - наименьшее число, что $a^e\equiv 1$ и $r<e$. Следовательно $r=0$, то есть $p-1=ke$, что и требовалось доказать.
Скажите, верны ли мои рассуждения? Можно ли доказать это утверждение проще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Следствие из теоремы Ферма
Сообщение17.07.2010, 01:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
ean в сообщении #339575 писал(а):
Можно ли доказать это утверждение проще?

Так как $a^e\equiv 1\pmod{p}$, то $a^{ke+r}\equiv a^{ke}a^r\equiv (a^e)^ka^r\equiv 1^ka^r\equiv a^r\pmod{p}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Следствие из теоремы Ферма
Сообщение19.07.2010, 12:34 
Аватара пользователя


21/01/10
146
Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group