помогите найти ошибку: последовательность случайных величин

[ecartman]

Пусть имеется последовательность $\{Z_n\}_{n\ge1}$ независимых одинаково распределённых сл. величин таких что $Z_n\ge0$ для всех $n$. Пусть $f_Z(z)$ - это плотность распределения $Z_n$. Введем $V_{n+1}=\xi(V_n)Z_{n+1}^a$ и $U_{n+1}=\xi(U_n)Z_{n+1}^{-b}$ - два марковских процесса, где $a,b>0$ - константы, и $U_0=u\ge0,V_0=v\ge0$ - тоже фиксированные числа, а $\xi(x)$ - некоторая известная функция, определенная на $\mathbb{R}^+$ и принимающая значения на интервале $[1,+\infty)$; $Z_n^x$ - это возведение $Z_n$ в степень $x$. Очевидно, $U_n$ и $V_n$ - зависимы. Рассмотрим 2-мерное блуждание $(V_n,U_n)$, и следущий момент выхода $T_{A,B}^{v,u}=\min\{n: \max(V_n-A,U_n-B)\ge0\}$, где $A,B>0$ - заданные константы. Другими словами, $T_{A,B}^{v,u}$ - это момент когда блуждание $(V_n,U_n)$ впервые выходит за границы квадрата $[0,A)\times[0,B)$ начавшись в точке $(V_0,U_0)=(v,u)$. Интересует среднее $E[T_{A,B}^{v,u}]$, а точнее правильность и результат следующих рассуждений относительно уравнения которому $E[T_{A,B}^{v,u}]$ должна удовлетворять.

1. Зафиксируем $k\ge1$. Рассмотрим $P(T_{A,B}^{v,u}>k)$. Тогда

$$ P(T_{A,B}^{v,u}>k)=P(\max(V_1-A,U_1-B)<0,\max(V_2-A,U_2-B)<0,\ldots,\max(V_k-A,U_k-B)<0|V_0=v,U_0=u). $$

2. Пусть $F(x,y|v,u)=P(V_{n+1}<x,U_{n+1}<y|V_n=v,U_n=u)$. Эта величина очевидно не зависит от $n$. Тогда используя марковость $V_n$ и $U_n$, можно записать

$$ P(T_{A,B}^{v,u}>k)=\int\int\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}F(x,y|v,u) P(T_{A,B}^{x,y}>k-1)\,dx\,dy, $$

где интеграл берется по области $\{(x,y):\max(x-A,y-B)<0\}$.

3. Далее, используя $E[T_{A,B}^{v,u}]=\sum_{k\ge0}P(T_{A,B}^{v,u}>k)$, и то что $P(T_{A,B}^{v,u}>0)=1$ можно получить

$$ E[T_{A,B}^{v,u}]=1+\int\int\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}F(x,y|v,u) E[T_{A,B}^{x,y}]\,dx\,dy, $$

где интеграл берется по области $\{(x,y):\max(x-A,y-B)<0\}$.

Есть ли здесь ошибка? Спасибо.

от модератора AD:

Сделал заголовочек темы поинформативнее.

[--mS--]

ecartman в сообщении #337297 писал(а):

Есть ли здесь ошибка? Спасибо.

Нет ошибок. Обычная формула полной вероятности по первому скачку. Вот разве что производная от функции распределения под интегралом предполагает наличие плотности. Лучше записать интеграл $\int \frac{\partial }{\partial x} F_\xi(x) dx$ как интеграл Стилтьеса $\int dF_\xi(x)$, или как $\int \mathsf P(\xi \in dx)$.

Обоснования требуются разве что в момент перестановки суммы и интеграла, но для положительных подынтегральных функций и это безразлично.

[ecartman]

Спасибо! В продолжение темы вопрос по поводу функции $F(x,y|u,v)$, потому что все равно что-то не так.

$$ F(x,y|u,v)=P(V_{n+1}<x,U_{n+1}<y|V_n=v,U_n=u)= P\left(Z^a<\frac{x}{\xi(v)},Z^{-b}<\frac{y}{\xi(u)}\right), $$

где индекс у $Z_n$ опущен в силу одинаковой распределенности всех $Z_n$. Далее

$$ F(x,y|u,v)=P\left(Z^a<\frac{x}{\xi(v)},Z^{-b}<\frac{y}{\xi(u)}\right)= P\left(\left(\frac{y}{\xi(u)}\right)^{-1/b}<Z<\left(\frac{x}{\xi(v)}\right)^{1/a}\right) $$

Вопрос такой: Если это выражение для $F(x,y|v,u)$ верно, то что есть смешанная производная $\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}F(x,y|v,u)$? Если например обозначить $\Phi(z)$ - кум. функцию распределения каждой $Z_n$, то $F(x,y|v,u)=\Phi\left(\left(\frac{x}{\xi(v)}\right)^{1/a}\right)-\Phi\left(\left(\frac{y}{\xi(u)}\right)^{-1/b}\right)$. Значит при дифф-нии получается нуль что-ли? Никак не пойму что здесь не так. Буду признателен за помощь.

[--mS--]

ecartman в сообщении #337456 писал(а):

Вопрос такой: Если это выражение для $F(x,y|v,u)$ верно, то что есть смешанная производная $\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}F(x,y|v,u)$? Если например обозначить $\Phi(z)$ - кум. функцию распределения каждой $Z_n$, то $F(x,y|v,u)=\Phi\left(\left(\frac{x}{\xi(v)}\right)^{1/a}\right)-\Phi\left(\left(\frac{y}{\xi(u)}\right)^{-1/b}\right)$. Значит при дифф-нии получается нуль что-ли? Никак не пойму что здесь не так. Буду признателен за помощь.

О чём и речь. Координаты процесса функционально зависимы, поэтому их совместное распределение в любой момент $n$ не обладает плотностью в $\mathbb R^2$. Двойной интеграл по $\mathsf P(V_{n+1}\in dx, U_{n+1}\in dy ~|~ V_n=v, U_n=u)$ сведётся к одномерному - например, по плотности величины $Z_1$ в точке $t$:

$$\int \ldots \cdot\mathsf P(Z_1\in dt),$$

где переменная $t$ такова, что $0<t^a\xi(v)<A$, $t^{-b}\xi(u) < B$.
Под интегралом тогда $x$ и $y$ придётся через $t$ выразить во второй вероятности.

[ecartman]

Понятно, т.е. предполагая для простоты, что $Z$ имеет плотность $f_Z(z)$, то, например, интеграл

$$ \int\int\frac{\partial^2}{\partial x\partial y} F(x,y|v,u) E[T_{A,B}^{x,y}]\,dx\,dy $$

преобразуется в

$$ \int E[T_{A,B}^{x(z),y(z)}] f_Z(z)\,dz $$

где $x(z)=z^a\xi(v)$, $y(z)=\xi(v)/z^b$, а интегрирование производится вдоль кривой $\{z: 0<x(z)<A, 0<y(z)<B\}$?

[--mS--]

Да, именно такой интеграл в итоге возникнет.

[ecartman]

Большое спасибо!