Метод Бубнова-Галеркина.

[lioness]

Я попробовала разложить в ряд Фурье функцию, но это только все усложнило...
$b=(2/pi)*integral [F(x)*sin (kx)] dx$
нашла коэффициент, но там же еще функция $sin(ny/R)$ остается а что с ней делать?
Опять раскладывать? Домножать на sin (ky)?
В качестве функции F(x) я взяла вторую функцию, представленную ниже

[Velikan39]

$$\[{b_n} = \frac{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)\sin \frac{{n\pi x}}{L}dx} = \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f\left( x \right)\sin \frac{{n\pi x}}{L}dx} \]$$

Да, разложить дважды, сначала по $x$, затем по $y$, хотя можно и наоборот, принимая вторую переменную за константу. Хотя вам это и не обязательно, т.к. ваше второе слагаемое не зависит ни от $x$, ни от $y$.

[lioness]

Т.е. в первый раз я нахожу коэффициент ${b_n}$$ как

$$\[{b_n} = \frac{2}{R}\int\limits_0^R {f\left( x \right)\sin \frac{{k\pi x}}{R}dx} \]$$

причем в качестве функции $ {f\left( x \right)} $ беру свое последнее уравнение, в результате упрощений, все что с $ x $ уйдет, останется какая-то функция домноженная на $sin \frac{{ny}}{R}\ $
Затем я опять же нахожу ${b_n}$$, ну или для избежания путаницы ${c_n}$$ как

$$\[{c_n} = \frac{2}{R}\int\limits_0^R {f\left( y \right)\sin \frac{{k\pi y}}{R}dy} \]$$

только здесь в качестве функции $ {f\left( y \right)} $ беру ${b_n}$
в результате уходит $sin \frac{{ny}}{R}\ $ так?

[Velikan39]

Ваше решение имеет такой вид:

$$\[\sum\limits_{m = 1}^\infty {\sum\limits_{n = 1}^\infty {F\left( \tau \right)\sin \frac{{mx}}{R}\sin \frac{{nx}}{R}} } + f\left( \tau \right) = 0\]$$

где $\[{F\left( \tau \right)}\]$ - выражение в квадратных скобках,
$\[f\left( \tau \right)\]$ - второе слагаемое.
Дабы его решить нужно $\[f\left( \tau \right)\]$ также представить в виде сумм. Для этого разложите $\[f\left( \tau \right)\]$ в ряд Фурье, сначала, к пимеру, по $x$, потом полученную сумму - по $y$(можно наоборот), принимая $\[f\left( \tau \right)\]$ за константу.

Обратите внимание - у вас под синусом стоит выражение $\[{\frac{{mx}}{R}}\]$, а в формуле для $b_n$ - $\[{\frac{{m\pi x}}{L}}\]$. Приравняйте их - найдете чему должно равняться $L$ для вашего случая.

[lioness]

Velikan39 в сообщении #336727 писал(а):

Дабы его решить нужно $\[f\left( \tau \right)\]$ также представить в виде сумм. Для этого разложите $\[f\left( \tau \right)\]$ в ряд Фурье, сначала, к пимеру, по $x$, потом полученную сумму - по $y$(можно наоборот), принимая $\[f\left( \tau \right)\]$ за константу.

Обратите внимание - у вас под синусом стоит выражение $\[{\frac{{mx}}{R}}\]$, а в формуле для $b_n$ - $\[{\frac{{m\pi x}}{L}}\]$. Приравняйте их - найдете чему должно равняться $L$ для вашего случая.

Даже не могу описать свои ощущения, как я себя сейчас чувствую даже стыдно...
Я сижу уже час раскладываю совсем не то что нужно в ряд и еще удивляюсь что же мне с этим потом придется делать =) Спасибо за помощь...не представляю что бы я без вас делала...

-- Чт июл 01, 2010 23:31:50 --

Если я на этот раз правильно поняла, то должно получиться что-то вроде этого?

При этом последнее уравнение также просуммировано дважды...