Промежутки чисел без простых

[juna]

Предлагаю участникам форума доказать классический результат.
Докажите, что существуют сколь угодно большие промежутки без простых чисел и таких промежутков бесконечно много.

[Руст]

Это слишком тривиальная и известная задача и даже можно оценить, что для любого 0<a<1 существует бесконечно много таких n, что в интервале (n,n+aln(n)) нет простых чисел.

[juna]

Существуют и другие интервалы.

[Руст]

Вообще то можно увеличить интервал до (n,n+2ln(n)), но это уже не так тривиально.

[maxal]

в отрезке [n!+2,n!+n] нет простых чисел для каждого n>1.

[maxal]

Недавно тут обсуждалась родственная задача, из которой, кстати, также следует исходное утверждение.

[juna]

Докажите, что существуют промежутки последовательных натуральных чисел любой длины, в которых каждое число имеет в качестве делителя квадрат.

[maxal]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Докажите, что существуют промежутки последовательных натуральных чисел любой длины, в которых каждое число имеет в качестве делителя квадрат.

Достаточно взять набор попарно взаимно простых чисел $m_1,\dots,m_k$ и решить следующую систему сравнений относительно $n$:

$$\left{ \begin{array}{rl} n & \equiv 0 \pmod{m_1^2}\\ n+1 & \equiv 0 \pmod{m_2^2}\\ & \dots\\ n+k-1 & \equiv 0 \pmod{m_k^2}\end{array}\right.$$

Китайская теорема об остатках гарантирует, что эта система будет разрешима.

[Руст]

Нечем не отличается. Берём простые числа p(1)=2,p(2),...,p(k) и определим по китайской теореме число х так, чтобы $p_i^2|(x+i),i=1,2,...,k.$

[juna]

Будем считать задачу исчерпанной. Вообще, все эти известные факты всплыли в голове, когда я пытался доказать утверждение: в любой цепочке последовательно идущих чисел встретится хотя бы одно число взаимно простое со всеми остальными числами этой цепочки.

[maxal]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

в любой цепочке последовательно идущих чисел встретится хотя бы одно число взаимно простое со всеми остальными числами этой цепочки.

Это неверное утверждение. Минимальным контр-примером является отрезок [2184,2200], состоящий из 17 целых чисел. Более того, доказано, что для каждого $l\geq 17$ существуют $l$ последовательных целых чисел, среди которых нет ни одного взаимно-простого со всеми остальными. См. также A090318.

[juna]

Спасибо. По Вашей ссылке нашел доказательство невозможности http://www.combinatorics.org/Volume_3/P ... 3i1r33.pdf