матрица плотности

[andrey_tch]

У меня есть информация о некоторых лучах исходящих из источника света (углы относительно оптической оси, интенсивность, x,y) (x,y,p,q)
по матрице плотности в инете ничего не могу найти, а как мне построить ее по моим данным вообще понятия не имею.
Хэлп.... Подскажите пожалуйста как расчитать матрицу плотности.

[Аурелиано Буэндиа]

andrey_tch писал(а):

Подскажите пожалуйста как расчитать матрицу плотности.

а о какой матрице плотности идет речь?

[andrey_tch]

Подробнее...
Мне необходимо построить ф-цию Вигнера(для отображения фазового пространства). Читаю книжку "Квантовая оптика в фазовом пространстве" Шляйха (с.91), там следующее...

Цитата:

"...Тогда квантовый скачек запишется в виде < x + 1/2*E |p^| x-1/2*E >. Естественно мы ассоциируем импульс частицы з со скачком из x' в x", т.е. с E. Так как импульсное распределение получается из координатного с помощью фурье преобразованияб осуществим такое преобразование относительно длины квантового скачка, то есть

W(x,p) = 1/(2*pi*h) * int(dE * exp(-i/h*p*E) < x + 1/2*E |p^| x-1/2*E > ).

Здесь включен нормировочный множитель 1/(2*pi*h), обеспечивающий выполнение свойства

int(dx*int(dp*W(x,p))),

которое обсуждаетя в следующем разделе.
Таким образомб функция Вигнера есть фурье-преобразование

W(x,p) = 1/(2*pi*h) * int(dE * exp(-i/h*p*E)*p(x,E)

матрицы плотности p(x",x') == < x"| p |x' >, выраженой в координатном представлении
через переменные x == (x' + x")/2 и E = x" - x', отвечающие центру скачка и его длине соответственно, т.е.

p(x,E) = p(x", x' ) = p(x + 1/2*E, x - 1/2*E) = <x + 1/2*E | p |x - 1/2*E>

Действительно, матричный элемент <x" |p | x'> зависит от двух координатных переменных. Совершаем фурье преобразование по одной из них, и в результате имеем снова две переменные: фурье-переменную скачка, которую называем p, и центральную точку скачка x.
Обе величины являются С-числами а не операторами. Поэтому функция Вигнера W зависит от двух классических переменных x и p. Однако пока еще не вполне очевидно, что эти переменные соответствуют координате и импульсу, образующим то фазовое пространство, в котором задана функция Вигнера. Мы докожем это в следующем разделе.
Завершим раздел замечанием, что в случае чистого состояния | psi >, то есть при P = |psi><psi|, это выражение сводится к

W(x,p) = 1/(2*pi*h) * int(dE* exp(-i/h*p*E)* psi'(x - 1/2*E)*psi(x+ 1/2*E)),

где psi(x) == <x|psi> - координатное представление состояния |psi>. Отсюда следует, что функция Вигнера есть фурье-преобразование волновых функций состояния |psi> со сдвинутыми координатами.

Вот не поленился почти весь параграф записать. Теперь напишу что мне не ясно. Функция Вигнера есть фурье-преобразование матрицы плотности либо фурье-преобразование волновых функций состояния. Я вот понятия не имею где мне взять волновые функции состояния или матрицу плотности. у меня немного другая ситуация. У меня есть данные о некоторых лучах испускаемых из источника (x,y,alpha,beta, i - где альфа и бэта углы относительно оптической оси, а i - интенсивность данного луча). Я могу отобразить в эти данные в фазовом пространстве y(beta) либо x(alpha), просто отметив эти точки на диаграмме. Но также как я понимаю можно воспользоваться функцией Вигнера для отображения распределения в фазовом пространстве. Дык вот никак не могу разобраться что же мне нужно подвергнуть фурье преобразованию, как мне для моего случая эту функцию найти. Предполагаю для того что бы получить ту же самую волновую функцию испольцуют набор дискретных значений и по ним ее строят а потом преобразуют Фурье-преобразованием. Соответственно мне нужно тоже найти какую-то функцию по моим дискретным данным и подвергнуть ФП.

вобщем что-то ни как не могу разобраться как мне функцию вигнера построить.(

Надеюсь в моем объяснении хоть что-то понятно.

Используйте тег math. Исправьте свое сообщение с учетом этого требования Правил //photon

[Аурелиано Буэндиа]

К сожалению формулы в вашем сообщении нечитабельны.
Поэтому советую привести формулы в порядок с учетом тега Math.

Кроме того мне не очень понятно о каких лучах идет речь и какое отношение они имеют к фазовому пространству (в переменных $x-p$).

Для начала рекомендую вам посмореть здесь и после этого здесь про функцию Вигнера. Там же есть ссылка на матрицу плотности.

[andrey_tch]

я там читать уже пробовал, мне все понятно, что фазовое пространство - это многомерное пространство, содержит не только координаты частиц, но и их импульсы.

Вот есть у меня набор точек предположим в пространстве. я знаю их импульсы и координаты. И очень мне хочется по ним функцию вигнера построить.
вот я так и не понимаю КАК??? Я вобще-то не физик а программист, читаю уже месяц про эту функцию, и ни как не улавливаю основную идею КАК ее строят.
я так полагаю что нужно подобрать тфункцию чтоб она прошла через все мои точки(аппроксимация по сути). я не обладатель черного пояса по математике и физике, мне такое не раскусить. интеграм меня вообще вводит в полную растерянность, его же раскрыть придется чтоб функцию строить.

читать ныучную литературу по данной тематике просто мука для меня. смотрю в книгу вижу фигу:( а мне не теория нужна мне алгоритм главное)

[andrey_tch]

вот что пишет википедия для моего случая

Цитата:

In the modelling of optical systems such as telescopes or fibre telecommunications devices, the Wigner function is used to bridge the gap between simple ray tracing and the full wave analysis of the system. Here p/h is replaced with k=|k|sinθ≈|k|θ in the small angle (paraxial) approximation. In this context, the Wigner function is the closest one can get to describing the system in terms of rays at position x and angle θ while still including the effects of interference. If it becomes negative at any point then simple ray-tracing will not suffice to model the system.

т.е. мои диаграммы x(θ). всетаки лучи...

тогда во что превратится функция вигнера данная вот тут http://en.wikipedia.org/wiki/Wigner_function

[Аурелиано Буэндиа]

andrey_tch писал(а):

тогда во что превратится функция вигнера данная вот тут ...

Попытаюсь изложить то, что я понял из ваших слов.

Насколько я понял Вас интересует задача восстановления функции Вигнера по классическим данным. Поэтому эта ссылка Вам не поможет. Там функция Вигнера строится через волновую функцию $\psi$. Судя по всему Вы говорили о лучах, которые возникают в приближении геометрической оптики -- траектории частиц, которые в параметрической форме можно записать так $x=x(t),\ y=y(t)$ (координаты) и $p=p(t),\ q=q(t)$ (импульсы). И хотите по нескольким лучам восстановить саму волновую функцию $\psi(x,y)$ или функцию Вигнера $P(x,y,p,q)$. Это так? Если так, то думаю отдельные лучи сами по себе не дают полную информацию для однозначного восстановления функции Вигнера. Может Вы яснее сформулируете физическую задачу с которой Вы столкнулись?

[Dolopihtis]

Насколько я понял из приведенной статьи в Википедиа , функция Вигнера может вычисляться для любых двух функций , связанных между собой преобразованием Фурье. В квантовомеханическом варианте - это волновые функции в координатном и импульсном представлениях. Если допустим у Вас есть распределение лучей по координатам и углам , связанные между собой преобразованием Фурье , то просто используйте первую формулу из этой статьи , заменив соответствующим образом переменные.

[andrey_tch]

Dolopihtis
я думаю, что вы говорите как раз о том что мне нужно.
А как связать функции фурье преобразованием? Точнее ето не совсем функции это же просто набор дискретных значений x,y,p,q. может напишите что именно подвергнуть преобразованию и какой формулой, а то я не очень понял как это сделать?

[Dolopihtis]

andrey_tch писал(а):

Dolopihtis
я думаю, что вы говорите как раз о том что мне нужно.
А как связать функции фурье преобразованием? Точнее ето не совсем функции это же просто набор дискретных значений x,y,p,q. может напишите что именно подвергнуть преобразованию и какой формулой, а то я не очень понял как это сделать?

Вообще , связаны или нет переменные x,y и p,q преобразованием Фурье , должно быть известно из постановки задачи. Скорее всего эти переменные являются результатами дискретной выборки из некоторых непрерывных переменных. Кроме того , для дискретных переменных существует вариант дискретного преобразования Фурье , реализованный в специальных компьютерных алгоритмах и очень широко применяемый в системах цифровой обработки сигналов. На эту тему существует очень большое количество литературы и ресурсов в Интернете.

[andrey_tch]

я думаю, что так и есть, они связаны и являются результатами дискретной выборки. Только я не совсем пойму что мне с ними делать.
я могу подвергнуть двумерному фурье-преобразованию x,p или y,q.
будет ли это функцией вигнера?

вы писали

Цитата:

Если допустим у Вас есть распределение лучей по координатам и углам , связанные между собой преобразованием Фурье , то просто используйте первую формулу из этой статьи , заменив соответствующим образом переменные.

заменить p/h на k я могу. я не знаю как мне эту формулу представить в виде суммы для дискретного преобразования.
вот к примеру там имеют место такие записи как
f*(x+y) и f(x-y) что за функции? что это означает?

[Dolopihtis]

andrey_tch писал(а):

я думаю, что так и есть, они связаны и являются результатами дискретной выборки. Только я не совсем пойму что мне с ними делать.
я могу подвергнуть двумерному фурье-преобразованию x,p или y,q.
будет ли это функцией вигнера?

Вряд-ли.

andrey_tch писал(а):

заменить p/h на k я могу. я не знаю как мне эту формулу представить в виде суммы для дискретного преобразования.
вот к примеру там имеют место такие записи как
f*(x+y) и f(x-y) что за функции? что это означает?

Там f(x-y) имеет смысл волновой функции частицы, а f*(x-y) - комплексно сопряженная к ней функция.

Вообще, я согласен с Аурелиано Буэндиа, что Вам следует более подробно изложить условия задачи, иначе обсуждение становится бессмысленным.

[andrey_tch]

Дык вот в том-то и задача, что нужно понять, что мне нужно для того чтобы построить функцию Вигнера. Подробности, мне бы самому хотелось узнать, все что нужно это понять КАК ЭТО ДЕЛАЕТСЯ В ОБЩЕМ. У меня есть только множество значений x,y и p,q. Я сам не знаю достаточно ли этого и что нужно еще и главное где это взять.

[Аурелиано Буэндиа]

andrey_tch писал(а):

Дык вот в том-то и задача, что нужно понять, что мне нужно для того чтобы построить функцию Вигнера. Подробности, мне бы самому хотелось узнать, все что нужно это понять КАК ЭТО ДЕЛАЕТСЯ В ОБЩЕМ. У меня есть только множество значений x,y и p,q. Я сам не знаю достаточно ли этого и что нужно еще и главное где это взять

Что нужно? Нужна волновая функция $\psi$
Где взять? Её можно вычилить, но для этого нужно знать какая у Вас физическая задача, что у Вас за данные, как они были получены. Вот это у Вас и спрашивают.

[andrey_tch]

У меня есть задача построить функцию Вигнера. Есть данные о некоторых лучах исходящих из источника света (x,y,q,p,i), i - интенсивность, p,q - углы.
есть объект(плоский) расположеный в плоскости XOY его размеры изменяются -w/2<x<w/2, -h/2<y<h/2. С определенным шагом dx,dy на этом объекте расположены точки. Из каждой исходят несколько лучей, под углами -A < p < A, -B < q < B. Углы p,q так же взяты с заданным шагом dp,pq.
Вот по таким данным, я могу построить диаграмму фазового пространства (x,p) например

oooo
oooo

точки в верхнем ряду - это лучи под углом p1, и координатой x1<x<x2. А точки в нижнем ряду - это лучи под углом p2, и координатой x1<x<x2.
Вот что у меня есть. Теперь мне необходимо построить Функцию вигнера W(x,p)