матрица плотности

[Dolopihtis]

Если я правильно понял Вашу задачу, то в роли волновой функции у Вас будет функция $I(x,y)$,где $I$ - интесивность источника, а $x,y$ - его координаты.

[andrey_tch]

Да, только дело в том, что это на каждый угол получается по функции интенсивности, так как I(x,y,p,q)[/math]

[Аурелиано Буэндиа]

Что-то у меня некоторый скепсис присутствует.
1) фазовое пространство строится не для любой пары физических величин, а только для тех которые удовлетворяют принципу дополнительности. Например,
координата - импульс,
частота - время.
Поэтому у меня есть сомнение в том, что координата и угол образуют фазовое пространство.

2) Что-то я очень сомневаюсь, чтобы интенсивность можно было рассматривать как волновую функцию. Она скорее квадрат волновой функции.

[andrey_tch]

И что теперь нужно сделать чтоб получить функцию вигнера?

[Аурелиано Буэндиа]

andrey_tch писал(а):

И что теперь нужно сделать чтоб получить функцию вигнера?

Ещё один вопрос. Правильно ли я понимаю, что у Вас задача плоская и сигнал распространяется только в плоскости x-y?

[andrey_tch]

т.е. нет! источник сигнала располагается в плоскости, а сигнал распространяется в пространстве.

[Dolopihtis]

Тогда сопряженными переменными можно считать $x$ и $k_x$, а также $y$ и $k_y$ , где $(k_x,k_y)$ - волновой вектор Если длина волны излучения постоянна , то этот вектор будет характеризоваться только углами к осям координат.

[andrey_tch]

А что мне делать теперь с этим?
Волновой вектор не есть фолновая функция насколько я понимаю. и вообще мне кажется что мне нужна в данном случае не волновая функция. вот что я прочитал тут
http://atom.grsu.by/umm511.htm

Цитата:

Важной особенностью квантовой механики является то, что в ней состояние системы описывается комплексной ψ-функцией, которая сама физического смысла не имеет, но квадрат ее модуля ψ * ψ =| ψ |^2 интерпретируется как плотность вероятности найти частицу в определенном месте пространства.

моя задача к квантовой механике получается не относится. хотя я не знаю. У меня такое чувсто, что что-то тут нужно подвергнуть фурье преобразованию. только что?

[Аурелиано Буэндиа]

andrey_tch писал(а):

моя задача к квантовой механике получается не относится. хотя я не знаю. У меня такое чувсто, что что-то тут нужно подвергнуть фурье преобразованию. только что?

Не относится, но распределение Вигнера можно строить и для сигнала. Вообще, похоже что здесь фазовое пространство квантуется.

Вероятно, можно рассуждать вот так:
Диск $\{\sqrt{x^2+y^2+z^2}<a,\ \ z=0\}$ излучает волны. Для начала скалярные.
Предположим мы вычислили амплитуду сигнала $A(\theta,\phi)$ при $r\to \infty$

$$ \psi \sim \frac{\exp(ikr)}{r} A(\theta,\phi). $$

где

$$ r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \gg a $$

Будем считать, что амплитуда нормирована на единицу
$ \oint_{4\pi} |A(\theta,\phi)|^2d\Omega=1,\ \ \ d\Omega=\sin(\theta)d\theta d\phi $

Теперь поскольку $0<\theta<\pi$, $0<\phi<2\pi$, то фазовое пространство квантуется,
а преобразование фурье заменяется радом фурье
$ \widetilde{A}(l,m)=\oint_{4\pi} A(\theta,\phi)Y^{*}_{lm}(\theta,\phi) d\Omega, $
где $Y_{lm}(\theta,\phi)$ -- сферические функции.

Таким образом, мне кажется, что фазовое пространство будет

$$ \mathscr{D} =\{ \theta,\phi,l,m| 0\leqslant \theta \leqslant \pi,\ \ 0\leqslant \phi<2\pi,\ \ l=\mathbb{N}\cup\{0\},\ \ -l\leqslant m \leqslant l \} $$

Возникает вопрос: можно ли обобщить распределение Вигнера на случай квантованного фазового пространства? Я лично с таким не сталкивался, но мне кажется такое обобщение должно существовать. Например, если у нас только одна угловая переменная $\phi$, то фазовое пространство $\{ \phi, m| 0\leqslant \phi<2\pi, m \in \mathbb{Z} \}$. Для этого случая я получил вот такую формулу для функции Вигнера (все свойства сохраняются)
$ W(\phi,m)=\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} A^*(\phi+\phi')A(\phi-\phi')e^{2im\phi'} d\phi'. $

Попробуйте поискать формулу для функции Вигнера для фазового пространства $\mathscr{D}$.
Вот что я думаю. Подождем мнение Dolopihtisа...

[andrey_tch]

О! спасибо! я и не думал, что тут можно так круто формулы расписывать.
Я только хотел уточнить. а амплитуду сигнала A(\theta,\phi) как находить? и куда прикрутить интенсивность?

[Аурелиано Буэндиа]

andrey_tch писал(а):

и куда прикрутить интенсивность?

Не могли бы Вы уточнить что за интенсивность дана? Или это угловое распределение излучения (диаграмма направленности) сразу для всего диска?

[Dolopihtis]

Еще несколько вопросов.
1. Какова физическая природа источников
2. Какова длина волны излучения
3. Какое соотношение между фазами излучения для разных истоников
4. Какая именно зависимость от углов, и между чем конкретно измеряются углы
5. Что имеется в виду под интенсивностью излучения (напряженности полей или мощность излучения) , измеряется она для всех источников сразу или для каждого по отдельности.

2Аурелиано Буэндиа Не совсем понял с квантованием фазового пространства.
Какая - то аналогия с квантованием углового момента , но не совсем понятно.

[andrey_tch]

Источник один - лампочка
длина волны значения не имеет
соотношение между фазами? если источник один, возможно его нет
углы измеряются относительно оптической оси, которая перпендикулярна плоскости источника.
интенчивность? хорошй вопрос мощность излучения я полагаю)

[Dolopihtis]

Вообще под источниками я имел в виду различные точки , из которых исходят лучи.
И Вы не ответили на вопрос, берется-ли интенсивность для всего источника или каждой отдельной его точки.

[andrey_tch]

Интенсивнось берется для каждого источника по-отдельности(единовременно).