Исследовать последовательность

[DEN]

Исследовать в $R_1$ фундаментальность:
$x_n=\frac{10}{1}\frac{11}{3}\cdots\frac{n+9}{2n-1}$



Ну поточечный предел находится легко. Только вопрос. Ведь сначала надо проверить ограниченность и монотонность последовательности. Подскажите пожалуйста.

[gris]

А разве это трудно сделать? Тогда и предел не надо искать.
(обратите внимание, что для последовательностей все дела могут начинаться не сразу, а "начиная с некоторого члена")

[DEN]

В других случаях было легко. А здесь до 10ого члена возрастает, потом убывает.

[gris]

Это не страшно. Главное, что начиная с некоторого номера она монотонна и ограничена.
Вот что такое поточечный предел для числовой последовательности?

[DEN]

Цитата:

Вот что такое поточечный предел для числовой последовательности?

Ой. Заговорился.
А есть ведь такая теорема: если есть предел, то она ограничена?

Цитата:

Это не страшно. Главное, что начиная с некоторого номера она монотонна и ограничена.

А ограничена она этим самым номером, начиная с которого, так?

[gris]

Это с одной стороны она ограничена, пардон, членом с этим номером. А нам нужна как раз ограниченность с другой стороны, в Вашем случае снизу.
Вообще, если нашли предел, то отсюда уже следует фундаментальность и ограниченность. (Но не монотонность.) Монотонность не необходима, но раз она есть, не выбрасывать же.
А как же Вы предел нашли? По определению?

[DEN]

Цитата:

А как же Вы предел нашли? По определению?

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n+9}{2n-1}$
Или так нельзя?

-- Сб июн 19, 2010 23:30:11 --

Цитата:

Это с одной стороны она ограничена, пардон, членом с этим номером. А нам нужна как раз ограниченность с другой стороны, в Вашем случае снизу.

Нулем тогда она будет ограничена.

[Mathusic]

DEN в сообщении #332938 писал(а):

А есть ведь такая теорема: если есть предел, то она ограничена?

Естественно. Судите сами: начиная с некоторого номера, последовательность попадёт в $\epsilon$-"ловушку" предела для любого эпсилон, оставшееся конечное кол-во членов до этого номера на ограниченность не влияет.

[gris]

Ну вообще-то можно. Только это предел последнего сомножителя, а не n-ного члена. А вдруг попросят доказать, что предел всего произведения равен 0?

[DEN]

Ну я думаю надо как-то по-другому представить $x_n$. Только как?

[gris]

Надо умело обращаться с необходимыми и достаточными условиями. Вы уже произнесли все нужные слова: начиная с 11 члена последовательность убывает и ограничена снизу нулём. Этого достаточно, чтобы она имела предел. А это уже достаточно (и необходимо), чтобы последовательность была фундаментальной. Ответ получен.

Если же Вы хотите найти предел, то обратите внимание, что последовательность напоминиет геометрическую прогрессию со знаменателем, который равен тому пределу, что Вы написали.

Можно её придавить сверху прогрессией со знаменателем, скажем 2/3, которая сходится к нулю. Но всё это надо делать аккуратно и строго.