2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 \frac 3 2 ^n \mod 1 плотно в [0,1]
Сообщение18.06.2010, 20:37 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
Задачка: показать, что $\{ (\frac 3 2) ^n \mod  1\}_{n=1}^{\infty}$ плотно в $[0,1]$.
На задачку наткнулся случайно, и где-то слышал, что оно имеет отношение к гипотезе Литлвуда... но нельзя ли это доказать проще?

Например, используя соображения о том, что $\{nx \mod 1\}_{n=1}^{\infty}$ плотно в $[0,1]$ для иррационального $x$ (или аналогично рассматривая поворот точки окружности на угол, несоизмеримый с $2 \pi$), что-то логарифмируя.

 Профиль  
                  
 
 Re: \frac 3 2 ^n \mod 1 плотно в [0,1]
Сообщение19.06.2010, 06:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Хорошая задачка, да. Более того, это широко открытая проблема. Известно лишь, что множество предельных точек бесконечно и $\limsup_{n\to\infty}\left\{(3/2)^n\right\}-\liminf_{n\to\infty}\left\{(3/2)^n\right\}\ge1/3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: \frac 3 2 ^n \mod 1 плотно в [0,1]
Сообщение19.06.2010, 06:48 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
А из той самой гипотезы Литлвуда в указанной формулировке положительный ответ более-менее очевидным образом следует?

 Профиль  
                  
 
 Re: \frac 3 2 ^n \mod 1 плотно в [0,1]
Сообщение19.06.2010, 08:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Честно говоря, никогда не слышал о связи этих 2 проблем.

 Профиль  
                  
 
 Re: \frac 3 2 ^n \mod 1 плотно в [0,1]
Сообщение19.06.2010, 16:35 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
RIP
Примерно понятно. Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group