2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 \frac 3 2 ^n \mod 1 плотно в [0,1]
Сообщение18.06.2010, 20:37 
Задачка: показать, что $\{ (\frac 3 2) ^n \mod  1\}_{n=1}^{\infty}$ плотно в $[0,1]$.
На задачку наткнулся случайно, и где-то слышал, что оно имеет отношение к гипотезе Литлвуда... но нельзя ли это доказать проще?

Например, используя соображения о том, что $\{nx \mod 1\}_{n=1}^{\infty}$ плотно в $[0,1]$ для иррационального $x$ (или аналогично рассматривая поворот точки окружности на угол, несоизмеримый с $2 \pi$), что-то логарифмируя.

 
 
 
 Re: \frac 3 2 ^n \mod 1 плотно в [0,1]
Сообщение19.06.2010, 06:00 
Аватара пользователя
Хорошая задачка, да. Более того, это широко открытая проблема. Известно лишь, что множество предельных точек бесконечно и $\limsup_{n\to\infty}\left\{(3/2)^n\right\}-\liminf_{n\to\infty}\left\{(3/2)^n\right\}\ge1/3$.

 
 
 
 Re: \frac 3 2 ^n \mod 1 плотно в [0,1]
Сообщение19.06.2010, 06:48 
А из той самой гипотезы Литлвуда в указанной формулировке положительный ответ более-менее очевидным образом следует?

 
 
 
 Re: \frac 3 2 ^n \mod 1 плотно в [0,1]
Сообщение19.06.2010, 08:12 
Аватара пользователя
Честно говоря, никогда не слышал о связи этих 2 проблем.

 
 
 
 Re: \frac 3 2 ^n \mod 1 плотно в [0,1]
Сообщение19.06.2010, 16:35 
RIP
Примерно понятно. Спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group