Отрицательный двойной интеграл

[Михаиль]

Подскажите, что-то я забыл как интегрировать двойной интеграл.
Стал вычислять двойной интеграл и он получился негативным
Не могу понять в чем дело.
$\int\int12xydxdy$
если область D есть$y+x=2$ и $y=x^2$

Я нарисовал графики, нашел точки пересечени $(-2;4),(1;1)$ и использую формулу
$\int_{-2}^{1}dx\int_{x^2}^{2-x}12xy dy$. Получилось -35.

Попытался поменять порядок интегрирования (надеюсь я правильно его поменял) ответ получаеться совсем другой. Не понимаю.

$\int_{1}^{4}dy\int_{-\sqrt{y}}^{y-2}12xy dx+\int_{0}^{1}dy\int_{-\sqrt{y}}^{+\sqrt{y}}12xy dx$.

Подскажите - а то мне стыдно, такое начало забыл :(

[ИСН]

Кто изменяется от -2 до 1? По кому Вы интегрируете от -2 до 1?

[Михаиль]

Исправил. В формуле были ошибки допущенные при написании формулы.
В первом случае я сначала интегрирую по у, потом по х, во втором наоборот.

[ИСН]

Теперь аккуратно вычислите интеграл первым способом.

[Михаиль]

$\int_{-2}^{1}dx\int_{x^2}^{2-x}12xy dy=\int_{-2}^{1}12xdx\int_{x^2}^{2-x}y dy.

$\int_{x^2}^{2-x}y dy=1/2*((2-x)^2-x^4)=1/2*(4-4x+x^2-x^4)$

$\int_{-2}^{1}(24x-24x^2+6x^3-6x^5) dx$

$12x^2-8x^3+6/4x^4-x^6$и подставляю сначала 1, потом -2, получаеться $12-8+1,5-1-48-64-24+64=-67,5$

Спасибо! Нашел ошибку в своём вычисление, но все равно получаеться негативное значение :-(

Вторая запись интеграла (где я поменял порядок она правильно у меня написана)?

[paha]

естественно, интеграл отрицательным получается))) Это же не дисперсия

таковы область и подынтегральная функция

[Михаиль]

значит это нормально?
Уффф..

[paha]

я вычисления не проверял

Однако, судя по области и подинтегральной функции, значение - отрицательное

[Михаиль]

Всё правильно!
я перепроверил именно -67,5

[vvvv]

Это интересно - объем получился отрицательным (см.геометрический смысл двой ного интеграла).У меня получилось 8
Вот картинка - вид снизу.

[ИСН]

У Вас хрень.

[vvvv]

Покажите не хрень.

[ИСН]

У Вас, скажу точнее, меньшая половина картинки. В условии нет ограничения x>0.

[gris]

Какие-то слова - объём, дисперсия. Считаем просто двойной интеграл. При разнознаковой подинтегральной функции он не равен объёму.

В области слева от оси $y$ функция отрицательна, справа - положительна. Функция симметрична относительно оси $y$ и левая часть области интегрирования больше. Естественно, двойной интеграл будет отрицательным.

А Вы,vvvv, на рисунке не отобразили как раз левую часть. И, возможно, объём тела, ограниченного плоскостью $z=0$ и функцией $z=12xy$ при $x>0;y>0$ будет равен 8.
Но слева объём тела, ограниченного плоскостью $z=0$ и функцией $z=12xy$ будет отрицательным в понимании ориентированного объёма.

Ах, моё много(пусто?)словие...

[vvvv]

Да, я полагал, что z=0.Фактически z=-96 и интеграл, действительно, равен -135/2.
Вот каринка для -96<z<12.

P.S. А вот если бы задача стояла так: вычислить объем тела, ограниченного тремя заданными поверхностями, какой ответ был бы верным?