Квадратура круга. Поиск истины

[serden]

КВАДРАТУРА КРУГА. Всем известно: "неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа $\pi$, которая была доказана в 1882 году Линдеманом."
Доказательство трансцендентности числа $\pi$ размещено в интернете - "Доказательство трансцендентности Андрей Марков". Прошу ознакомиться с приведённым в данной книге доказательством.
Вместе с тем, в энциклопедии Брокгауза и Ефрона, Статья 1869 сказано: "Лежандр первый высказал мысль, что $\pi$ должно быть число трансцендентное, но только Эрмит, в сочинении "Sur la Fonction Exponentielle" ("ComptesRendus", т. 77, 1873) показал, что основание Неперовых логарифмов, т. е. число $e$, есть трансцендентное, а Линдеман в 1882 г. ("MathematischeAnnalen", т. XX), на основании соображений, подобных соображениям Эрмита, показал, что и $\pi$ есть число трансцендентное. Теорема Линдемана заключается в том, что если $x$есть корень алгебраического уравнения, которого коэффициенты действительные или мнимые числа, то $e^x$ не может быть числом алгебраическим; а так как, $e^{\pi\sqrt{-1}}=-1$, то следовательно, $\pi\sqrt{-1}$, а потому и $\pi$ не может быть числом алгебраическим."
В приведённой цитате отсутствует информация: "Линдеман доказал", а присутствует: "Линдеман показал на основании соображений, подобных соображениям Эрмита "
Почему присутствует разночтение, в формулировке о трансцендентности числа $\pi$?

13.06.10. Не вижу никаких противоречий в цитатах. Если Вы о том, что в одном случае говорится о том, что Линдеман «доказал», а во втором, что он «показал», то противоречия нет: в данном случае это синонимы. (Есть вопрос о точности формулировки, но это можно обсуждать, только после того, как будет отредактирована цитата.)

13.06.10 перенесено в Карантин, 3.07.10 возвращено. / GAA

[Mathusic]

Линдеман доказал.

[serden]

Спасибо Вам за вступление в полемику по поднятому мной вопросу. Ответ можно трактовать так: трансцендентность конкретного числа, доказывается через сложную алгебраическую формулу, хотя дело касается элементарной геометрии. С подобным доводилось встречаться: приводится долгий алгебраический расчёт усыпляющий как гипноз, а потом как прыжок в сторону - делается алогичный алгебраическому расчёту вывод. ($2+2=4$ - поэтому зайцы не летают)
В подятой мной теме "вытащены" три цитаты - (на третью - ссылка). Хочется услышать ответ, учитывающий все три ссылки указанных в поднятой теме.

[serden]

13.06.10. Не вижу никаких противоречий в цитатах. Если Вы о том, что в одном случае говорится о том, что Линдеман «доказал», а во втором, что он «показал», то противоречия нет: в данном случае это синонимы.

"Показал"$=$"Доказал"
"На основании соображений"$=$"На основании "Доказательств"
"Так как$e^{\pi\sqrt{-1}}=-1$, то следовательно,$\pi\sqrt{-1}$,а потому и $\pi$ не может быть числом алгебраическим(транцендентным)"
Это что? Неоспоримые выводы, транцендентности числа $\pi$?

[CowboyHugges]

serden в сообщении #337585 писал(а):

Это что? Неоспоримые выводы, транцендентности числа $\pi$?

А откуда в Брокгаузе и Ефроне какие-то строгие математические доказательства, их надо искать в специальной литературе. Если Вы не согласны с доказательством Линдемана, так дайте на него ссылку и укажите где именно не согласны. А по статье в энциклопедии что-то разбирать - это глупо.

[gris]

Линдеман доказал теорему, из которой трансцендентность числа $\pi$ следует как частный случай. Марков доказал ещё более общую теорему, из которой как частный случай следует трансцендентность и $e$, и $\pi$, да и сама теорема Линдемана.

Предметом теорем Маркова и Линдемана не было доказательство трансцендентности именно числа $\pi$, поэтому вполне можно сказать, что они "показали" этот математический факт как очевидное следствие из гораздо более общей теоремы. Слово "показать", я думаю, в данном случае означает "доказать без особых усилий". Впрочем, это же всё терминология истории математики, энциклопедических словарей и википедии.

А ситуация та же, что с ВТФ. Элементарность и простота формулировки теоремы поощряет (провоцирует?) на поиски элементарного же доказательства. (Я про геометрические задачи трисекции, удвоения и квадратуры).

Кстати, не надо забывать и о Ламберте, который за сто лет до упомянутых господ доказал иррациональность числа $\pi$ и предположил его трансцендентность.

[serden]

CowboyHugges в сообщении #337601 писал(а):

serden в сообщении #337585 писал(а):

Это что? Неоспоримые выводы, транцендентности числа $\pi$?

А откуда в Брокгаузе и Ефроне какие-то строгие математические доказательства, их надо искать в специальной литературе.

В этом с Вами согласен. Но несоответствие БСЭ и энциклопедии Б. и Э. меня зацепило. Научной литературы по доказательству трансцендентности числа, не было. Появившуюся в интернете книгу Маркова скачал (имеется в наличии), но мне в данной книге не понятно: как алгеброическими формулами (без чисел)- можно доказать трансцендентность конкретного числа:$3,141592...$
Во всяком случае числа:$3,1415928165250138836954861078059… $ и $1,7724538968686925718887244115238… $
не трансендентны.
Спасибо за Ваше сообщение. Для меня это очень важно. С чем несогласны-прошу разъяснить.

-- Вт июл 06, 2010 19:58:22 --

gris в сообщении #337606 писал(а):

Линдеман доказал теорему, из которой трансцендентность числа $\pi$ следует как частный случай. Марков доказал ещё более общую теорему, из которой как частный случай следует трансцендентность и $e$, и $\pi$, да и сама теорема Линдемана.

Предметом теорем Маркова и Линдемана не было доказательство трансцендентности именно числа $\pi$, поэтому вполне можно сказать, что они "показали" этот математический факт как очевидное следствие из гораздо более общей теоремы. Слово "показать", я думаю, в данном случае означает "доказать без особых усилий". Впрочем, это же всё терминология истории математики, энциклопедических словарей и википедии.

А ситуация та же, что с ВТФ. Элементарность и простота формулировки теоремы поощряет (провоцирует?) на поиски элементарного же доказательства. (Я про геометрические задачи трисекции, удвоения и квадратуры).

Кстати, не надо забывать и о Ламберте, который за сто лет до упомянутых господ доказал иррациональность числа $\pi$ и предположил его трансцендентность.

Об этом сышал, знаю, но чего-то не понимаю. Предметом Линдемана не было доказательство именно числа $\pi$? Почти вся научная и околонаучная литература говорит, что Линдеман долазал трасцендентность числа $\pi$... Как это понимать? После Вашего сообщёния я всё больше склоняюсь, что доказательства трансцедентности не существует.
Во всяком случае числа:$3,1415928165250138836954861078059…$ и $1,7724538968686925718887244115238… $ не трансцендентны.
Спасибо за сообщение. В чём не прав- поправте.

[ewert]

serden в сообщении #337631 писал(а):

Во всяком случае числа:$3,1415928165250138836954861078059…$ и $1,7724538968686925718887244115238… $ не трансцендентны.

Это совершенно не известно. Может, не трансцедентны, а может, и трансцедентны. Вы же не выписали всю бесконечную последовательность цифр, так как же мы можем о них судить.

[Хорхе]

serden в сообщении #337631 писал(а):

В чём не прав- поправте.

Поправляю:

Неправы в раздельном написании "неправ" и в "поправьте" без мягкого знака.

[Виктор Ширшов]

(Оффтоп)

Хорхе. Моя интуиция подсказывает, что serden
не прав только в пропущении мягкого знака.

[gris]

Линдеман доказал, что $e$ в степени, показатель которой есть комплексное алгебраическое число, не может быть алгебраическим числом. То есть алгебраическая степень $e$ трансцендентна.

Если $\pi$ алгебраическое число, то $e^{2\pi i}$ по теореме Линдемана не может быть алгебраическим числом. Но $e^{2\pi i}=1$, а $1$ число даже вовсе натуральное. Получаем противоречие, то есть $\pi$ не алгебраическое, а трансцендентное число.

Я не знаю, использовал ли Линдеман в доказательстве трансцендентность $e$, но Марков точно не использовал. Я не могу также с уверенностью отрицать, что Линдеман заварил эту кашу только из-за числа $\pi$. Хотя к тому времени уже как 150 лет была известна формула Эйлера, связывающая экспоненту и тригонометрические функции, и у него вряд ли было такое уж огромное преклонение перед $\pi$. В те годы оно было не модно.

Ваша тема интересна с точки зрения истории математики. Я порыскаю по архивам и если чего найду, то напишу, если это будет ещё актуально.
Кстати, советую Вам посетить англоязычные страницы той же Википедии. Там гораздо больше материала, как это ни уязвляет моё патриотическое чувство.

PS Исправляю у себя уже третью ошибку. Господа, я и сам граммар-наци, но вы же так параноиками всех сделаете.

PS Однако ж вон как с Линдеманом-то повернулось. Всё из-за пи, значит. Ну знать так уж на роду ему написано было. Не прошла моя гипотеза

[ewert]

(Оффтоп)

Хорхе в сообщении #337647 писал(а):

Неправы в раздельном написании "неправ" и в "поправьте" без мягкого знака.

Не только. Ещё и в отсутствии пробела перед тире.

[GAA]

В книге Клейна К.Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Том 1. приводится формулировка т. Линдемана: равенство $\sum\limits_{\nu=1}^n a_\nu e^{b_\nu} = 0$ не может иметь место, если $a_\nu$ любые, не равные одновременно нулю, a $b_\nu$ — различные между собой алгебраические числа. Для доказательства трансцендентности числа $\pi$ достаточно более простого утверждения (частного случая т. Л.), которое практически эквивалентно утверждению, приведенному в энциклопедическом словаре, и доказательство которого приводит Клейн.

serden, посмотрите, пожалуйста, доказательство в книге Клейна. Если будете продолжать создавать бессодержательные сообщения, то ветка будет перенесена в Пургаторий.

[RIP]

(Оффтоп)

gris в сообщении #337606 писал(а):

теорем Маркова

Это теорема не Маркова, а Линдемана--Вейерштрасса: Линдеман её только сформулировал, сказав, что её можно доказать аналогично (и это правда), а Вейерштрасс первый привёл полное док-во.

gris в сообщении #337606 писал(а):

Слово "показать", я думаю, в данном случае означает "доказать без особых усилий".

В данном случае слово "показать" означает "доказать", без всяких уточнений.

gris в сообщении #337653 писал(а):

Я не могу также с уверенностью отрицать, что Линдеман заварил эту кашу только из-за числа $\pi$.

Вот ровно из-за этого злосчастного числа $\pi$ он и заварил всю кашу (из-за связи с проблемой квадратуры круга), даже работа называлась "Über die Zahl $\pi$". И в обзорной статье сказано

Цитата:

Линдеман в первую очередь стремился доказать трансцендентность числа $\pi$. Поэтому в его работе подробно доказано лишь, что $e^z$ при алгебраическом $z\ne0$ не может быть рациональным числом. Затем он указывает, как провести доказательство сформу­лированной теоремы.

[serden]

ewert в сообщении #337645 писал(а):

serden в сообщении #337631 писал(а):

Во всяком случае числа:$3,1415928165250138836954861078059…$ и $1,7724538968686925718887244115238… $ не трансцендентны.

Это совершенно не известно. Может, не трансцедентны, а может, и трансцедентны. Вы же не выписали всю бесконечную последовательность цифр, так как же мы можем о них судить.

Дело в том, что данные числа получены при попытке решить "Квадратуру круга" ( С решением можно познакомиться- набрав в Поисковике: "Квадратура круга Дениченко" и выйти на статью с решением "Квадратуры круга". (В статье, можно выйти на электронную почту, с просьбой либо с вопрсом.) Если для Вас это будет интересно, познакомтесь.
Спасибо за вопрос.

-- Ср июл 07, 2010 15:33:04 --

gris в сообщении #337653 писал(а):

Линдеман доказал, что $e$ в степени, показатель которой есть комплексное алгебраическое число, не может быть алгебраическим числом. То есть алгебраическая степень $e$ трансцендентна.

Если $\pi$ алгебраическое число, то $e^{2\pi i}$ по теореме Линдемана не может быть алгебраическим числом. Но $e^{2\pi i}=1$, а $1$ число даже вовсе натуральное. Получаем противоречие, то есть $\pi$ не алгебраическое, а трансцендентное число.

Я не знаю, использовал ли Линдеман в доказательстве трансцендентность $e$, но Марков точно не использовал. Я не могу также с уверенностью отрицать, что Линдеман заварил эту кашу только из-за числа $\pi$. Хотя к тому времени уже как 150 лет была известна формула Эйлера, связывающая экспоненту и тригонометрические функции, и у него вряд ли было такое уж огромное преклонение перед $\pi$. В те годы оно было не модно.

Ваша тема интересна с точки зрения истории математики. Я порыскаю по архивам и если чего найду, то напишу, если это будет ещё актуально.
Кстати, советую Вам посетить англоязычные страницы той же Википедии. Там гораздо больше материала, как это ни уязвляет моё патриотическое чувство.

PS Исправляю у себя уже третью ошибку. Господа, я и сам граммар-наци, но вы же так параноиками всех сделаете.

PS Однако ж вон как с Линдеманом-то повернулось. Всё из-за пи, значит. Ну знать так уж на роду ему написано было. Не прошла моя гипотеза

Я рад, что зародил у Вас сомнение в искренности и истинности подятой мной темы. Пожалуйста если, что раскопаете по теме - выложите в форуме. Я простой квадратурщик, который не решил, а показал как могли решить задачу в древности (используя элементарные знания геометрии). "Сложные математические выкладки, не имеющие направленности к прикладной геометрии - не для меня. Поэтому если, что найдёте по данной теме Объясните научно-популярно.
Спасибо за сообщение.

от модератора GAA:

PAV в теме Квадратура круга писал(а):

Опровергать общеизвестные математические результаты мы здесь не будем.

7.07.10 тема перенесена в Пургаторий.