Равномощность квадрата кругу

[caxap]

Хочу доакзать.

Думаю так. Из квадрата можно вырезать круг. Круг равномощен кругу (думаю, что размеры тут не влияют, главное чтобы фигуры подобны были). Т.е. мощность квадрата не меньше круга. Далее из круга можно вырезать квадрат. Т.е. мощность круга не меньше квадрата. По теорема Кантора-Бернштейна круг и квадрат равномощны?

Я верно думаю?

P.S. Можно ли таким макаром (теор. К-Б) доказать равномощность отрезка квадрату?

-- Сб июн 12, 2010 18:32:50 --

Ещё вот. Док-ть равномощность $(0,1)$ и отрезка $[0,1]. Аналогично: из отрезка можно взять интервал, отличающийся от первого только длиной. И из интервала можно взять отрезок. Опять по т.К-Б они равномощны?

Или я неправильно теорему понял или действительно можно доказать равномощность многих множеств так легко?

[Dan B-Yallay]

Насчет круга и квадрата - я думаю в задании намекалось на полярную систему координат, но при наличии аккуратного изложения, ваше доказательство тоже работает.

ЗЫ Будете вырезать из отрезка квадратик?

[ewert]

caxap в сообщении #330479 писал(а):

или действительно можно доказать равномощность многих множеств так легко?

или действительно легко, однако же не совсем всегда: отрезок к квадрату так уж сходу к Кантору-Бернштейну не сведешь

[caxap]

В брошюрке, которую я читаю (Верещагин, Шень) на основании т.К-Б предлагают доказать, что все геометр. фигуры, содержащие хотя бы кусочек прямой или кривой, равномощны. Что-то ума не приложу как это связать...

[мат-ламер]

Перед этим, вероятно, доказывается, что все эти фигуры являются частью квадрата (или куба), и что квадрат равномощен отрезку.

[AD]

caxap в сообщении #330495 писал(а):

на основании т.К-Б предлагают доказать, что все геометр. фигуры, содержащие хотя бы кусочек прямой или кривой, равномощны. Что-то ума не приложу как это связать...

Ну докажите, что все они равномощны всей плоскости: сначала докажите, что "кусочек прямой или кривой" равномощен плоскости, а потом К-Б.

(Оффтоп)

Всякая прямая - кривая.

[Mathusic]

caxap в сообщении #330479 писал(а):

Ещё вот. Док-ть равномощность $(0,1)$ и отрезка $[0,1]. Аналогично: из отрезка можно взять интервал, отличающийся от первого только длиной. И из интервала можно взять отрезок. Опять по т.К-Б они равномощны?

Или я неправильно теорему понял или действительно можно доказать равномощность многих множеств так легко?

Можно еще проще: разрезать отрезок на полуинтервал и отрезок - склеить полуинтервал. Произведя втрую итерацию, получим отрезок без крайних точек.

[caxap]

AD в сообщении #330522 писал(а):

Ну докажите, что все они равномощны всей плоскости: сначала докажите, что "кусочек прямой или кривой" равномощен плоскости, а потом К-Б.

А можно так: отрезок (кусочек прямой) равномощен квадрату (используем это уже как известный факт). Кривая равномощна отрезку (по-моему это очевидно, ведь мы просто изменили длину и деформировали отрезок. или это доказывать надо?). Т.е. кривая тоже равн. квадрату. Далее по К-Б любую фигуру можно заключить квадрат и из любой фигры можно вырезать квадрат, след-но все фигуры равномощны.

[ewert]

caxap в сообщении #330676 писал(а):

Кривая равномощна отрезку (по-моему это очевидно, ведь мы просто изменили длину и деформировали отрезок. или это доказывать надо?)

Смотря что назвать кривой. Обычно кривая определяется как некоторая параметризация промежутка, и тогда они равномощны просто по определению (если отбросить нюансы насчет самопересечений и т.д.).

[caxap]

Если отрезок равномощен квадрату, то значит существует биекция. Но точка отрезке задается одной координатой. Значит и на квадрате можно задать положение любой точки одним числом? А если квадрат очень большой, почти бесконечный, то получается мы можем задать положение на плоскости одной координатой?

[gris]

Да хоть в многомерном пространстве.
Положение любой точки можно задать одной координатой - действительным числом от 0 до 1.
Но эта биекция не будет непрерывной, так что толку от неё никакого.

[Mathusic]

gris в сообщении #330842 писал(а):

Да хоть в многомерном пространстве.

(Оффтоп)

Хоть в бесконечномерном $\mathbb{R}^{\infty}$ :-)

[caxap]

А можно примерчик такой биекции? Я вот тут думал, может это единственное число как-то на две части разделить, напр. те цифры, которые на чётных позициях стоят -- в первое число, на нечетных -- во второе. 123.456 -> (13.5, 2.46), но так не все координаты по-моему можно закодировать.?

[Mathusic]

caxap в сообщении #330875 писал(а):

А можно примерчик такой биекции?

Это есть биекция, которая доказывает эквивалентность мн-в.

[meduza]

См. Кривая Пеано