Предел

[zuj]

Доброго времени суток всем!

Вот натолкнулся на такой предел:
$\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{1+x^{\frac1x}}{\exp}\right)^{\frac1x}$

думал, думал да так и не придумал как к нему подступиться. Пробовал логарифмировать, потом преобразовывать, но ничего дельного из этого не вышло. Никак не свести его к чему-то толковому. А да и еще забыл написать, что все это дело "оформить" по Лопиталю.

Буду благодарен за любые намеки.

[Mathusic]

$\exp$ - это константа?

[gris]

А не так?

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\frac{(1+x)^{\frac1x}}{e}\right)^{\frac1x}$

Тут хотя бы $e$ к месту. А тот предел тоже можно.

[zuj]

Mathusic в сообщении #328690 писал(а):

$\exp$ - это константа?

да $\exp$ это константа - число Эйлера.

gris в сообщении #328692 писал(а):

А не так?

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\frac{(1+x)^{\frac1x}}{e}\right)^{\frac1x}$

Тут хотя бы $e$ к месту. А тот предел тоже можно.

К сожалению нет, а то все было бы совсем просто.

[Padawan]

zuj в сообщении #328699 писал(а):

gris в сообщении #328692 писал(а):

А не так?
$\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\frac{(1+x)^{\frac1x}}{e}\right)^{\frac1x}$
Тут хотя бы $e$ к месту. А тот предел тоже можно.

К сожалению нет, а то все было бы совсем просто.

Тогда надо бы писать ${x\to+0}$, но это мелочи. Ответьте, к чему стремится $x^{\frac{1}{x}}$, если $x\to 0$ ?

[gris]

Ну я бы не сказал, что проще. У Вас $e$ очень упрощает дело. Без неё можно было бы и подумать, а с ней никакой Лопиталь не нужен.

[id]

Так $\exp$ - это $e^1$ или $\gamma$? (последнюю обычно называют постоянной Эйлера)

[zuj]

Padawan в сообщении #328701 писал(а):

Ответьте, к чему стремится $x^{\frac{1}{x}}$, если $x\to 0$ ?

Ну ежели меня зрение не подводит, то это получится $0^{\infty}$, что по идее есть просто $0$.

gris в сообщении #328706 писал(а):

Ну я бы не сказал, что проще. У Вас $e$ очень упрощает дело. Без неё можно было бы и подумать, а с ней никакой Лопиталь не нужен.

А можно подсказку из зала .

id в сообщении #328708 писал(а):

Так $\exp$ - это $e^1$ или $\gamma$? (последнюю обычно называют постоянной Эйлера)

Это $e^1$ ... ну я вроде назвал ее числом, не постоянной.

[gris]

У Вас получается $\left(\frac{1+x^{\frac1x}}{\exp}\right)^{\frac1x}\sim \left(\frac{1+0}{\exp}\right)^{\frac1x}}\sim \left(C<1)^{\infty} $

Без $e$ хотя бы неопределённость была.

[zuj]

gris в сообщении #328715 писал(а):

У Вас получается $\left(\frac{1+x^{\frac1x}}{\exp}\right)^{\frac1x}\sim \left(\frac{1+0}{\exp}\right)^{\frac1x}}\sim \left(C<1)^{\infty} $

Ну после намека Padawan'а до этого я тоже додумался, но ведь в условии задачи требуется тоже самое только используя правило Лопиталя.

[gris]

Третий вариант

$\lim\limits_{x\to 0+}\left(1+x^{\frac1x}}\right)^{\frac1x}=$

Так как $x^{\frac1x}\to 0$, тут и по Лопиталю можно, если уж надо, то используем Второй ЗП:

$=\exp\left(\lim\limits_{x\to 0+}x^{\frac1x}\cdot{\frac1x}}\right)=\exp\left(\lim\limits_{x\to 0+}x^{(\frac1x-1)}}\right)=1$

В Вашем примере правило Лопиталя неприменимо, так как нет неопределённости. Ну разве что для $x^{\frac1x}\to 0$

[Mathusic]

gris в сообщении #328715 писал(а):

У Вас получается $\left(\frac{1+x^{\frac1x}}{\exp}\right)^{\frac1x}\sim \left(\frac{1+0}{\exp}\right)^{\frac1x}}\sim \left(C<1)^{\infty} $

Без $e$ хотя бы неопределённость была.

Вообще-то эквивалентными в произведении пользуются. Сомневаюсь я в правомощности такого перехода.

[gris]

$\left(\frac{1+x^{\frac1x}}{\exp}\right)^{\frac1x}=\left(\frac1e+\frac{x^{\frac1x}}{\exp}\right)^{\frac1x}\sim \left(\frac1e+0\right)^{\frac1x}}\sim \left(C<1)^{\infty} $

Ну это так, на глаз, а можно и строго расписать. Но нету там неопределённости, что поделать?

Это как $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin4x}{2x}$ можно по Лопиталю, а $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sin4x}{2x}$ нельзя.

[zuj]

Большое спасибо всем кто принял участие в обсуждении данного вопроса. Теперь вроде бы все встало на свои места.

[Mathusic]

gris в сообщении #328725 писал(а):

$\left(\frac{1+x^{\frac1x}}{\exp}\right)^{\frac1x}=\left(\frac1e+\frac{x^{\frac1x}}{\exp}\right)^{\frac1x}\sim \left(\frac1e+0\right)^{\frac1x}}\sim \left(C<1)^{\infty} $

...можно и строго расписать.

Это не правомощно. Вот таже техника: \left(1+x\right)^{1/x}\sim 1^{1/x}=1, x \to 0.