Теорема Абеля

[Woland]

Согласно теореме Абеля - уравнение степени выше 4 не разрешимо в радикалах.

Вопрос 1: означает ли это то ,что не существует лишь единной формулы,
позволяющей вырожать корни, в то время, как, для некоторох конкретных экземпляров
уравнений, такая формула(очевидно) есть?

А если для некоторых экземпляров уравнений, такая формула есть, то весьма вероятной представляется гипотеза: существует определённое разбиение всех уравнений степени выше 4 на непересекающиеся классы, для каждого из которых, существует своя собственная, непохожая на другие-формула. Тогда теорема Абеля означает -что всякое уравнение,
степени выше 4, имеет всё же некоторую формулу, выражающую корни многочлена ,но заранее её обнаружить, исходя лишь из рассмотрения уравнения- не возможно.

Или всё таки имеется ввиду, что есть определённые ЭКЗЕМПЛЯРЫ уравнений для которых
не какой формулы, выражающей корни многочлена-нет?


Вопрос 2:
Считается ,что уравнение $x^5-x-1=0 $ (как кстати это можно доказать) в радикалах не разрешимо.Но я нашёл реккурентную формулу, вырожающую корни этого уравнения. Что же тогда имеется ввиду, когда говорят, что уравнение $x^5-x-1=0 $ в радикалах не разрешимо?

Вопрос 3:
Хорошо, пусть не существует формулы $x_{koren}=f(a_0,a_1,..,a_n)$
но может быть существует ФОРМУЛА вида $x_{koren}=f(a_0,a_1,..,a_n,E_0)$
позволяющая найти корень с точностью $E_0$?

[juna]

В радикалах разрешимы уравнения, группа Галуа которых разрешима. Существуют методы решения уравнений пятой степени в тэта-функциях. Но это все нетривиально.
Можно посоветовать Вам ознакомиться с соответствующей литературой:
http://ilib.mccme.ru/pdf/alekseev.pdf
ftp://ftp.mccme.ru/users/prasolov/polynoms/poly.pdf

[Woland]

Уважаемый Артамонов Ю.Н. спасибо за указанную литературу. Но должен Вам
сказать, что первую книгу я читал полностью, однако из неё я не коим образом
не смог уловить, ответы на поставленные вопроссы. Кроме того, книги обычно,
авторы пишут, не под конкретного человека, а под некоторую группу лиц. Видимо предпологая, что если у конкретного человека, возникнут вопроссы лично ему не
понятные, то их можно будет разьяснить в индивидупльном порядке. Вот я и задаю
такие вопроссы.

Все у кого я спрашивал данные вопроссы, не имели своего чёткого мнения по ним,
а они были тесно связанны с математикой, и имели свою собственную литерратуру,
которую вероятно читали, но так же вероятно, что не понимали её. Поэтому скажите
как же я могу прочитать, указанную Вами литерратуру и понять что там написанно,
если я непрофессиональный математик? А ведь эта теорема имеет колосальное
значение,в математике. И остовлять здесь какую-либо не ясность, значит лишать себя определённой части математической культуры. Кроме того, я не спрашиваю как её доказали, я лишь хочу понять:-что она означает? Неужели для этого я должен потратить несколько месяцев, связанное со чтением? (несколько месяцев-это из личного опыта)

[Руст]

Woland писал(а):

Согласно теореме Абеля - уравнение степени выше 4 не разрешимо в радикалах.

Вопрос 1: означает ли это то ,что не существует лишь единной формулы,
позволяющей вырожать корни, в то время, как, для некоторох конкретных экземпляров
уравнений, такая формула(очевидно) есть?

А если для некоторых экземпляров уравнений, такая формула есть, то весьма вероятной представляется гипотеза: существует определённое разбиение всех уравнений степени выше 4 на непересекающиеся классы, для каждого из которых, существует своя собственная, непохожая на другие-формула. Тогда теорема Абеля означает -что всякое уравнение,
степени выше 4, имеет всё же некоторую формулу, выражающую корни многочлена ,но заранее её обнаружить, исходя лишь из рассмотрения уравнения- не возможно.

Или всё таки имеется ввиду, что есть определённые ЭКЗЕМПЛЯРЫ уравнений для которых
не какой формулы, выражающей корни многочлена-нет?


Вопрос 2:
Считается ,что уравнение $x^5-x-1=0 $ (как кстати это можно доказать) в радикалах не разрешимо.Но я нашёл реккурентную формулу, вырожающую корни этого уравнения. Что же тогда имеется ввиду, когда говорят, что уравнение $x^5-x-1=0 $ в радикалах не разрешимо?

Вопрос 3:
Хорошо, пусть не существует формулы $x_{koren}=f(a_0,a_1,..,a_n)$
но может быть существует ФОРМУЛА вида $x_{koren}=f(a_0,a_1,..,a_n,E_0)$
позволяющая найти корень с точностью $E_0$?

1.Единой формулы нет, но всегда можно просчитать группу Галуа и проверить на разрешимость. Если группа Галуа разрешима существует формула выражающая корни через радикалы.
2.Рекурентная формула не всегда приводит к возможности выражения в радикалах.
3.Для любой точности, существует рациональные числа, приближающие корни с соответствующей точностью, но это не относится к теме.

[Woland]

Спасибо Руст за ответы.

Руст писал(а):

3.Для любой точности, существует рациональные числа, приближающие корни с соответствующей точностью, но это не относится к теме.

Вероятно я не вполне ясно выразился о том что имел ввиду. Речь идет о следующем:
уравнение первой степени имеет один корень , вычислимый по формуле x=-b/a.
причём эта формула даёт не приближонный а точный ответ.
Уравнения второй,третей и четвёртой степени также обладают этими свойствами.

Гипотеза: Со всяким уровнением пятой степени, можно связать определённую формулу,
дающую вычисление корней полинома, но не с абсолютной а лишь с приближённой
точностью. Верна ли она?

[Руст]

Есть алгоритм для нахождения корней многочлена с любой наперед заданной точностью Е. Этот алгоритм в конце работы выдает для каждого корня некоторую функцию от исходных данных (т.е. коэффициентов многочлена) и Е, т.е $x_i=f_i(a_0,a_1,...,a_n,E)$.

[Woland]

Руст писал(а):

Есть алгоритм для нахождения корней многочлена с любой наперед заданной точностью Е. Этот алгоритм в конце работы выдает для каждого корня некоторую функцию от исходных данных (т.е. коэффициентов многочлена) и Е, т.е $x_i=f_i(a_0,a_1,...,a_n,E)$.

Это весьма любопытно. Вы не могли бы дать на этот алгоритм ссылку?

[Руст]

Таких алгоритмов сколько угодно. Вначале надо избавиться от кратных корней. Для этого вычисляем $f(x)=\text{НОД}(P(x),P'(x))$. Среди кратных выделяем, кратные с большей кратностью ит.д. Далее найдя корни и сокращая найдём все корни, например разделяя область корней на прямоугольники.

[juna]

Интереснее получить оценку количества вещественных и комплексных корней в интервале.
Woland - не ленитесь, почитайте вторую из указанных мною книг (если первую прочитали), Вы откроете для себя массу удивительных вещей. Ведь в приватной беседе, даже со специалистами в этой области, не возможно передать всего объема математических фактов. Формат форума этого не позволяет. Да и четырьмя строчками не передать даже идею этих мат.истин.

[Woland]

Руст писал(а):

Есть алгоритм для нахождения корней многочлена с любой наперед заданной точностью Е. Этот алгоритм в конце работы выдает для каждого корня некоторую функцию от исходных данных (т.е. коэффициентов многочлена) и Е, т.е $x_i=f_i(a_0,a_1,...,a_n,E)$.

Руст писал(а):

Таких алгоритмов сколько угодно. Вначале надо избавиться от кратных корней. Для этого вычисляем $f(x)=\text{НОД}(P(x),P'(x))$. Среди кратных выделяем, кратные с большей кратностью ит.д. Далее найдя корни и сокращая найдём все корни, например разделяя область корней на прямоугольники.

Если у нас дано уравнение которое не имеет кратных корней, например
$X^5-x-1=0$ то как мы найдём для него формулу
$x_i=f_i(a_0,a_1,...,a_n,E)$ согласно Вашему алгоритму?
Продемонстрируйте пожайлуста.

[Руст]

Явный вид формулы знать ни к чему. Можно выбрать такой алгоритм и гарантировать, что она рациональная функция от коэффициентов полинома, а какая именно, зависит от Е.

[Woland]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Woland - не ленитесь, почитайте вторую из указанных мною книг (если первую прочитали), Вы откроете для себя массу удивительных вещей. Ведь в приватной беседе, даже со специалистами в этой области, не возможно передать всего объема математических фактов. Формат форума этого не позволяет. Да и четырьмя строчками не передать даже идею этих мат.истин.

Я обязательно прочту Вашу книгу. Но опять же повторюсь, что опыт чтения
математических книг, подсказывает мне, что скорее всего я нечего из
изложенного там не пойму. Это связанно ещё и с тем, что как правило авторы
не показывают в своих книгах,чего они хотят достич, теми или иными её
теоремами. А я не могу, что либо изучать если не понимаю какая у меня стоит
цель, т.е. если я не вижу общей центральной линии той или иной теории, и места
данной теоремы в ней. Кроме того, как правило самые выжные и трудные места
авторы, излогают в две три строки, а остальное представляет из себя
нудные вычисления. Вы читали как у Кострикина определяется разложение подстановки
на независимые циклы? Автор предлагает просто посмотреть на чертёж и уловить
эту идею самостоятельно. Так же он поступает с ассоциативностью отображений.
Я так до сих пор и не понял, что такое циклы и в чём состоит идея разложения
подстановок. Ещё одна проблемма состоит в том, что авторы совершенно не
сопровождают читателя соответствующими пояснениями. Другими словами, в процессе чтения
возникают вопроссы,а ответы на них, в самой книге не заложенны. Хуже всего
то, что по всей видимости у авторов нет не каких оснований утверждать, что читатель сможет найти ответы самостоятельно(т.е. без обращения на форум lib.mexmat.ru).
И дальнейшее чтение становится бессмысленным.

[Woland]

Руст писал(а):

Таких алгоритмов сколько угодно. Вначале надо избавиться от кратных корней. Для этого вычисляем f(x)=НОД(P(x),P'(x)). Среди кратных выделяем, кратные с большей кратностью ит.д.

Здесь насколько я понял , Вы изложили стандартную процедуру отделения корней.
Хорошо отделили, но что Вы следующим

Руст писал(а):

Далее найдя корни и сокращая найдём все корни, например разделяя область корней на прямоугольники.

хотели сказать?

Руст писал(а):

Явный вид формулы знать ни к чему. Можно выбрать такой алгоритм и гарантировать, что она рациональная функция от коэффициентов полинома, а какая именно, зависит от Е.

Лично меня интеррисует именно явный вид формулы.
Вы говорите "выбрать такой алгоритм" а какой такой алгоритм? У нас ,что есть
гдето перечень этих алгоритмов. Нельзя же считать предпоследний Ваш пост,
алгоритмом? Если Вы владеете каким либо методом, то не могли бы Вы, проде-
монстрировать его на предложенном мною примере, или если это очень долго, то дать нанего ссылку?

[dmd]

Решение алгебраических уравнений степени выше 4-й в общем виде надо искать в форме бесконечного ряда без радикалов. Радикалы - они только для нас радикалы, следствия наших геометрических интерпретаций, а для Природы они - бесконечные ряды. Радикальных же форм решений до 4-й степени включительно скорее всего может быть найдено бесконечно много. Это мое предположение. У меня получилось найти сразу несколько форм решения кубического уравнения, причем некоторые из них переходят в решение квадратного и дальше в решение линейного в рамках одной формулы.

[Woland]

dmd писал(а):

У меня получилось найти сразу несколько форм решения кубического уравнения, причем некоторые из них переходят в решение квадратного и дальше в решение линейного в рамках одной формулы.

Приведите пожайлуста Ваш пример.