функция Эрдёша

[Stagnant]

$\theta(n) = $\sum\limits_{p\leqslant n}\ln(p)\leqslant n\cdot \ln(4)$

Используется в его доказательстве постулата Бертрана (между $n$ и $2n$ всегда существует простое число $p$).
Верно ли, что

n\cdot \ln(2) $\leqslant \theta(n)$

Начиная с некоторого номера. Вроде бы это следует из самого постулата.

Если бы получить оценку ещё лучше, то тем самым можно будет доказать гипотезу Лежандра (3ая проблема Ландау). С такой оценкой увы не прокатывает.

$(n+1)^2\cdot \ln(2)\leqslant\theta(n^2) =\theta((n+1)^2) \leqslant 2n^2\cdot \ln(2)$ - верно.

Но все таки, это верно или нет?

[mihiv]

Для достаточно больших $n$ справедливо неравенство $cn\leqslant \theta (n)$,где $c$-любая постоянная меньшая 1.Это следует из того,что $\lim \limits _{n\to \infty }\frac {\theta (n)}n=1$.