верно ли неравенство

[cyb12]

Столкнулся с проблемой проверить такое неравенство:

$$C_{n}^{p_1}C_{n}^{p_2}-C_{n}^{p_1}C_{n-p_1}^{p_2-p_1}\leqslant \dfrac{1}{2}C_{n}^{\frac{p_1+p_2}{2}}\left(C_{n}^{\frac{p_1+p_2}{2}}-1\right),$$

где $p_1<p_2<n$, а $p_1+p_2 $ -- четное число. Подскажите, как его доказать или опровергнуть.

[Sonic86]

Если я нигде не ошибся, то оно асимптотически неверно. Проверьте, пожалуйста.
Я для простоты переобозначу $p_1, p_2$ как $p,q$.
Берем $p,q = \text{const}$ и $n \to + \infty$. Тогда $C_n^a \sim \frac{n^a}{a!}$ и значит делим все на $n^{\text{старшая степень n}}$ в пределе получим $\frac{1}{p!q!} \leq \frac{1}{2} \frac{1}{\left( \frac{p+q}{2} \right) !^2}$. Тут удобно сделать замену $\frac{p+q}{2}=r, \frac{q-p}{2}=s$ и взять например $r \to + \infty$ и тогда получим противоречие.
З.Ы. Полное решение не пишу, т.к. нельзя.

[cyb12]

Sonic86, спасибо, согласен.
То есть, при больших $n$ верно обратное неравенство, правильно я понимаю?
И правда ли что, исходное неравенство асимптотически эквивалентно такому:
$C_n^pC_n^q\leqslant \frac{1}{2}\left(C_n^{\frac{p+q}{2}}\right)^2,$
которое неверно (при больших $n$)?

[Sonic86]

да, получается, что так