2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Производная скалярного поля по направлению
Сообщение25.05.2010, 19:00 
Аватара пользователя
$$ \frac{\partial{[\vec{F}(r)\cdot\ln(r)\cdot\vec{b}]}}{\vec{a}}=$$ 
$$=\vec{a} \cdot grad(\vec{F}(r)\cdot\ln(r)\cdot\vec{b})=$$ 
$$=\vec{a}\cdot \vec{F}(r)\cdot\vec{b} \cdot grad(\ln(r))+\vec{a}\cdot \ln(r) \cdot grad(\vec{F}(r)\cdot\vec{b})=$$
$$\vec{a} \cdot \vec{F}(r) \vec{b} \cdot \frac{\vec{r}}{r}\cdot \frac{1}{r}+\vec{a}\cdot \ln(r) \cdot \left( \vec{F}(r) \cdot \vec{b} \right)'_r \cdot \frac{\vec{r}}{r} =$$
$$=\vec{a} \cdot \vec{F}(r) \vec{b} \cdot \frac{\vec{r}}{r}\cdot \frac{1}{r} +  \vec{a}\cdot \ln(r) \cdot \vec{F}'_r \cdot \vec{b} \cdot \frac{\vec{r}}{r} $$
Так верно? Можно ли как-нибудь упростить, кроме вынесения за скобку?

-- Вт май 25, 2010 20:08:22 --

$$rot[f(r)\cdot(\vec{a} \times \vec{r})]=$$
$$=f(r)\cdot rot(\vec{a} \times \vec{r})+[gradf(r)]\times (\vec{a} \times \vec{r}) = $$
$$ f(r)\cdot 2\vec{a} + f'_r(r) \cdot \frac{\vec{r}}{r} \times (\vec{a} \times \vec{r})$$
Можно ли упростить тут?

 
 
 
 Re: Производная скалярного поля по направлению
Сообщение25.05.2010, 23:53 
Аватара пользователя
используйте формулу двойного векторного произведения БАЦ минус ЦАБ

или пальцы растопырьте, чтобы понять чему равно $r\times(a\times r)$

 
 
 
 Re: Производная скалярного поля по направлению
Сообщение26.05.2010, 00:52 
Аватара пользователя
paha в сообщении #323939 писал(а):
БАЦ минус ЦАБ $r\times(a\times r)$

$r\times(a\times r)=a(r\cdot r)-r(r\cdot a)$
Тогда
$ f(r)\cdot 2\vec{a} + f'_r(r) \cdot \frac{\vec{r}}{r} \times (\vec{a} \times \vec{r}) =  f(r)\cdot 2\vec{a} + f'_r(r) \cdot \frac{1}{r}\cdot \vec{a}(\vec{r}\cdot \vec{r})-f'_r(r) \cdot \frac{1}{r}\cdot\vec{r}(\vec{r}\cdot \vec{a})= f(r)\cdot 2\vec{a} + f'_r(r) \cdot \vec{a}\cdot r-f'_r(r) \cdot \frac{1}{r}\cdot\vec{r}(\vec{r}\cdot \vec{a})$

Не сильно проще стало... :?

 
 
 
 Re: Производная скалярного поля по направлению
Сообщение26.05.2010, 06:34 
Аватара пользователя
alleut в сообщении #323946 писал(а):
Не сильно проще стало...


Вы разложили поле по $a$ и $r$ (только там не 2, а 3)

 
 
 
 Re: Производная скалярного поля по направлению
Сообщение26.05.2010, 07:11 
alleut в сообщении #323946 писал(а):
$ + f'_r(r) \cdot \vec{a}\cdot r-f'_r(r) \cdot \frac{1}{r}\cdot\vec{r}(\vec{r}\cdot \vec{a})$
Не сильно проще стало... :?

Внешне выглядит, может, и не проще. Но дело в том, что $\vec{a}-\frac{1}{r^2}\cdot\vec{r}(\vec{r}\cdot \vec{a})$ -- это копроекция $\vec{a}$ на $\vec{r}$.

paha в сообщении #323960 писал(а):
(только там не 2, а 3)

Все-таки 2 (по той же "бац минус цап").

 
 
 
 Re: Производная скалярного поля по направлению
Сообщение26.05.2010, 11:45 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #323969 писал(а):
alleut в сообщении #323946 писал(а):
$ + f'_r(r) \cdot \vec{a}\cdot r-f'_r(r) \cdot \frac{1}{r}\cdot\vec{r}(\vec{r}\cdot \vec{a})$
Не сильно проще стало... :?

Внешне выглядит, может, и не проще. Но дело в том, что $\vec{a}-\frac{1}{r^2}\cdot\vec{r}(\vec{r}\cdot \vec{a})$ -- это копроекция $\vec{a}$ на $\vec{r}$.

Мне незнакомо понятие копроекции.

 
 
 
 Re: Производная скалярного поля по направлению
Сообщение26.05.2010, 11:50 
Ну проекция на ортогональное дополнение к тому вектору. Т.е. на перпендикулярную к нему плоскость.

 
 
 
 Re: Производная скалярного поля по направлению
Сообщение26.05.2010, 12:01 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #324030 писал(а):
Ну проекция на ортогональное дополнение к тому вектору. Т.е. на перпендикулярную к нему плоскость.

Ясно. :)Но в данном контексте не суть важно.
Я предполагал, что мог запутаться с векторными произведениями и получить не 0 или не более компактное выражение. Но вроде все верно.


Спасибо за помощь.

 
 
 
 Re: Производная скалярного поля по направлению
Сообщение27.05.2010, 11:23 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #323969 писал(а):
Все-таки 2 (по той же "бац минус цап")


Насколько я понял, вектор $a$ -- постоянный, а ${\rm div} \,r=3$

 
 
 
 Re: Производная скалярного поля по направлению
Сообщение27.05.2010, 19:30 
так там же ж не только ж дивергенция, там же ж еще и "цап"

 
 
 
 Re: Производная скалярного поля по направлению
Сообщение29.05.2010, 09:09 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #324612 писал(а):
там же ж еще и "цап"

около цапа производная от $f$ стоит

 
 
 
 Re: Производная скалярного поля по направлению
Сообщение29.05.2010, 09:54 
paha в сообщении #325133 писал(а):
ewert в сообщении #324612 писал(а):
там же ж еще и "цап"

около цапа производная от $f$ стоит

Ну может я не понял, о чем речь и о какой двойке. Я имел в виду, что

$\mathrm{rot}(\vec{a}\times\vec{r}) = \vec{\nabla}\times(\vec{a} \times \vec{r})=\vec{a}\,(\vec{\nabla}\cdot\vec{r})-(\vec{a}\cdot\vec{\nabla})\,\vec{r}=3\vec{a}-\vec{a}=2\vec{a}$

 
 
 
 Re: Производная скалярного поля по направлению
Сообщение29.05.2010, 10:13 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #323969 писал(а):
Все-таки 2 (по той же "бац минус цап").


Да, двойка... пардон)

 
 
 
 Re: Производная скалярного поля по направлению
Сообщение29.05.2010, 10:50 

(Оффтоп)

paha в сообщении #325150 писал(а):
Да, двойка...

Это оценка?...

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group