Производная скалярного поля по направлению

[alleut]

$$ \frac{\partial{[\vec{F}(r)\cdot\ln(r)\cdot\vec{b}]}}{\vec{a}}=$$ $$=\vec{a} \cdot grad(\vec{F}(r)\cdot\ln(r)\cdot\vec{b})=$$ $$=\vec{a}\cdot \vec{F}(r)\cdot\vec{b} \cdot grad(\ln(r))+\vec{a}\cdot \ln(r) \cdot grad(\vec{F}(r)\cdot\vec{b})=$$ $$\vec{a} \cdot \vec{F}(r) \vec{b} \cdot \frac{\vec{r}}{r}\cdot \frac{1}{r}+\vec{a}\cdot \ln(r) \cdot \left( \vec{F}(r) \cdot \vec{b} \right)'_r \cdot \frac{\vec{r}}{r} =$$ $$=\vec{a} \cdot \vec{F}(r) \vec{b} \cdot \frac{\vec{r}}{r}\cdot \frac{1}{r} + \vec{a}\cdot \ln(r) \cdot \vec{F}'_r \cdot \vec{b} \cdot \frac{\vec{r}}{r} $$

Так верно? Можно ли как-нибудь упростить, кроме вынесения за скобку?

-- Вт май 25, 2010 20:08:22 --

$$rot[f(r)\cdot(\vec{a} \times \vec{r})]=$$

$$=f(r)\cdot rot(\vec{a} \times \vec{r})+[gradf(r)]\times (\vec{a} \times \vec{r}) = $$

$$ f(r)\cdot 2\vec{a} + f'_r(r) \cdot \frac{\vec{r}}{r} \times (\vec{a} \times \vec{r})$$

Можно ли упростить тут?

[paha]

используйте формулу двойного векторного произведения БАЦ минус ЦАБ

или пальцы растопырьте, чтобы понять чему равно $r\times(a\times r)$

[alleut]

paha в сообщении #323939 писал(а):

БАЦ минус ЦАБ $r\times(a\times r)$

$r\times(a\times r)=a(r\cdot r)-r(r\cdot a)$
Тогда
$ f(r)\cdot 2\vec{a} + f'_r(r) \cdot \frac{\vec{r}}{r} \times (\vec{a} \times \vec{r}) = f(r)\cdot 2\vec{a} + f'_r(r) \cdot \frac{1}{r}\cdot \vec{a}(\vec{r}\cdot \vec{r})-f'_r(r) \cdot \frac{1}{r}\cdot\vec{r}(\vec{r}\cdot \vec{a})= f(r)\cdot 2\vec{a} + f'_r(r) \cdot \vec{a}\cdot r-f'_r(r) \cdot \frac{1}{r}\cdot\vec{r}(\vec{r}\cdot \vec{a})$

Не сильно проще стало...

[paha]

alleut в сообщении #323946 писал(а):

Не сильно проще стало...

Вы разложили поле по $a$ и $r$ (только там не 2, а 3)

[ewert]

alleut в сообщении #323946 писал(а):

$ + f'_r(r) \cdot \vec{a}\cdot r-f'_r(r) \cdot \frac{1}{r}\cdot\vec{r}(\vec{r}\cdot \vec{a})$
Не сильно проще стало...

Внешне выглядит, может, и не проще. Но дело в том, что $\vec{a}-\frac{1}{r^2}\cdot\vec{r}(\vec{r}\cdot \vec{a})$ -- это копроекция $\vec{a}$ на $\vec{r}$.

paha в сообщении #323960 писал(а):

(только там не 2, а 3)

Все-таки 2 (по той же "бац минус цап").

[alleut]

ewert в сообщении #323969 писал(а):

alleut в сообщении #323946 писал(а):

$ + f'_r(r) \cdot \vec{a}\cdot r-f'_r(r) \cdot \frac{1}{r}\cdot\vec{r}(\vec{r}\cdot \vec{a})$
Не сильно проще стало...

Внешне выглядит, может, и не проще. Но дело в том, что $\vec{a}-\frac{1}{r^2}\cdot\vec{r}(\vec{r}\cdot \vec{a})$ -- это копроекция $\vec{a}$ на $\vec{r}$.

Мне незнакомо понятие копроекции.

[ewert]

Ну проекция на ортогональное дополнение к тому вектору. Т.е. на перпендикулярную к нему плоскость.

[alleut]

ewert в сообщении #324030 писал(а):

Ну проекция на ортогональное дополнение к тому вектору. Т.е. на перпендикулярную к нему плоскость.

Ясно. :)Но в данном контексте не суть важно.
Я предполагал, что мог запутаться с векторными произведениями и получить не 0 или не более компактное выражение. Но вроде все верно.


Спасибо за помощь.

[paha]

ewert в сообщении #323969 писал(а):

Все-таки 2 (по той же "бац минус цап")

Насколько я понял, вектор $a$ -- постоянный, а ${\rm div} \,r=3$

[ewert]

так там же ж не только ж дивергенция, там же ж еще и "цап"

[paha]

ewert в сообщении #324612 писал(а):

там же ж еще и "цап"

около цапа производная от $f$ стоит

[ewert]

paha в сообщении #325133 писал(а):

ewert в сообщении #324612 писал(а):

там же ж еще и "цап"

около цапа производная от $f$ стоит

Ну может я не понял, о чем речь и о какой двойке. Я имел в виду, что

$\mathrm{rot}(\vec{a}\times\vec{r}) = \vec{\nabla}\times(\vec{a} \times \vec{r})=\vec{a}\,(\vec{\nabla}\cdot\vec{r})-(\vec{a}\cdot\vec{\nabla})\,\vec{r}=3\vec{a}-\vec{a}=2\vec{a}$

[paha]

ewert в сообщении #323969 писал(а):

Все-таки 2 (по той же "бац минус цап").

Да, двойка... пардон)

[ewert]

(Оффтоп)

paha в сообщении #325150 писал(а):

Да, двойка...

Это оценка?...