Порядок произведения элементов

[copyleft]

Помогите пожалуйста доказать, что если a и b - элементы конечного порядка группы G, их порядки равны m и n соответственно и ab=ba, то ab - также элемент конечного порядка, и порядок этого элемента равен наименьшему общему кратному m и n.

так как m - порядок a, то $a^m = 1 , m>0, (\forall r) ~r>0 \wedge a^r = 1 \Rightarrow r \geqslant m $
так как n - порядок b, то $b^n = 1 , n>0, (\forall k )~ k>0 \wedge b^k = 1 \Rightarrow k \geqslant n $

Надо придти к тому, что $(ab)^p = 1 , p>0, (\forall t )~ t>0 \wedge (ab)^t = 1 \Rightarrow t \geqslant p $, где p - НОК(m,n).

Как воспользоваться тем фактом, что группа абелева?

[ИСН]

Все a согнать влево, все b - вправо.

[copyleft]

Можно ли действовать хотя бы примерно таким способом:
$1=1 \cdot 1 = a^m \cdot b^n = a^n a^{m-n} b^n = (ab)^n a^{m-n}= (ab)^n a^{-n}$
Просто не представляю, с чего вообще можно начать..

[copyleft]

ау..

[ИСН]

В выражении $(ab)^p$...

[gris]

Если $p=LCM(n;m) \Rightarrow p=kn; p=lm$

$(ab)^p=a^p\cdot b^p=a^{lm}\cdot b^{kn}=...$

Но нужно показать, что при меньшей ненулевойстепени 1 не возможна.

[copyleft]

Можно ли доказать это следующим образом:
Выберем произвольное t>0, для которого выполнено $(ab)^t = 1$
Из этого следует, что $a^t b^t = 1 \Rightarrow a^t = 1 \wedge b^t = 1 \Rightarrow n|t \wedge m|t \Rightarrow t $ - кратное $ n \wedge m$, но p - наименьшее кратное n и m $\Rightarrow t \geqslant p$
Не уверен насчет перехода: $a^t b^t = 1 \Rightarrow a^t = 1 \wedge b^t = 1 $
Не подскажите ли, на основании чего можно сказать, что это действительно так?

-- Пн май 24, 2010 19:50:07 --

ИСН
и все-таки не очень понимаю Ваш способ..
$a^p = b^{-p}$

[ИСН]

Слушайте, бросайте это, сколько можно. Возьмём группу комплексных чисел с модулем 1. Пусть $a=e^{2\pi i\over 6}$. Чему равен его порядок? Пусть дальше $b=e^{2\pi i\over 3}$. Чему равен его порядок? Чему равно ab? Чему равен порядок ab?

[copyleft]

$|a|=3 ;~~ |b|=3 ;~~ |ab|=1$
Вроде.

[ИСН]

Как-как? $e^{\pi i}=?$

[copyleft]

-1

-- Пн май 24, 2010 22:07:18 --

Значит,
$|a|=6 ;~~ |b|=3 ;~~ |ab|=2$

[ИСН]

Ага, так лучше.
И что? Где же наш НОК(m,n)?

[copyleft]

Вот и я не понимаю, где он..
Т.е. утверждение в первом сообщении неверно?

[Cave]

Может быть, имелось в виду, что порядок $ab$ является делителем НОК'а?

[copyleft]

Cave
в задании так: "Доказать, что если элементы a и b коммутируют, то их произведение ab также является элементом конечного порядка и порядок этого элемента равен наименьшему общему кратному чисел m и n".