Делимость чисел

[Marina]

Подскажите, пожалуйста, как доказать, что $5^{2n+1}+3^{n+2}\cdot 2^{n-1}$ делится на 19.

[ИСН]

По-моему, боян. Если по-простому делать, то можно проверить остатки при всех n, пока не начнут повторяться.

[TOTAL]

Marina в сообщении #322276 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, как доказать, что $5^{2n+1}+3^{n+2}\cdot 2^{n-1}$ делится на 19.

$5 \cdot 25^n+3^{n+2}\cdot 2^{n-1}$

[Sonic86]

Еще можете по индукции попробовать - тоже прикольно.

[Marina]

$5 \cdot 25^n+ \frac {9\cdot 3^n\cdot 2^n}{2}=5 \cdot 25^n+ \frac {9\cdot 6^n}{2}$?

[gris]

Я вот в очередной раз недоумеваю, почему действительно в задачах на делимость не использовать индукцию? Ведь тут сразу бросается в глаза, что $5^2-2\cdot3=19$
Или индукцию типа ещё не проходили?

[TOTAL]

Marina в сообщении #322294 писал(а):

$5 \cdot 25^n+ \frac {9\cdot 3^n\cdot 2^n}{2}=5 \cdot 25^n+ \frac {9\cdot 6^n}{2}$?

$5 \cdot 25^n+ \frac {9\cdot 6^n}{2}=5 \cdot 25^n-5 \cdot 6^n+ \frac {19\cdot 6^n}{2}$

[Руст]

$5^{2n+1}+3^{n+2}2^{n-1}=5*25^n+\frac{9}{2}6^n=6^n\frac{5*2+9}{2}mod 19 =0\mod 19$.

[Marina]

Руст Спасибо. Но не поняла, если есть возможность сделайте, пожалуйста, небольшие пояснения.

-- Пт май 21, 2010 13:01:49 --

TOTAL Спасибо.Но как пришли к: $5 \cdot 25^n-5 \cdot 6^n+ \frac {19\cdot 6^n}{2}$?

[TOTAL]

$ \frac {9\cdot 6^n}{2}= \frac {(19-10)\cdot 6^n}{2} = \frac {19\cdot 6^n}{2} - \frac {10\cdot 6^n}{2}= \frac {19\cdot 6^n}{2} - 5\cdot 6^n$

[Marina]

TOTAL
Но как быть с первым слагаемым: $5\cdot 25^n-5\cdot 6^n$

[TOTAL]

Marina в сообщении #322365 писал(а):

TOTAL
Но как быть с первым слагаемым: $5\cdot 25^n-5\cdot 6^n$

Докажите, что $ 25^n- 6^n$ делится на $19$

[Marina]

$ 25^n- 6^n=(25-6)(25^{n-1}+25^{n-2}\cdot 6+...+25\cdot 6^{n-2}+6^{n-1})= 19\cdot (25^{n-1}+25^{n-2}\cdot 6+...+25\cdot 6^{n-2}+6^{n-1})$
Так?

[ИСН]

Да хоть так.

[Marina]

ИСН. А где Ваши предложения, варианты...? Что получилось, то и имеем.