Как то сам пытался прикоснуться к этой загадке.
Как всегда вначале выдвигал много разных версий. И при этом пытался выдвигать версии уровня времени жизни Ферма.
Вот одна из них. Сразу же акцентирую: "Это на уровне идеи!" На уровне одного из подхода к рассмотрению.
Пусть мы имеем верное

. И только при

и пока оставим равенство в 1.
Что мы видим?
У нас есть ряд чисел 1,4,9,16,25,36,49,...


где работает это правило

А вот в ряду чисел:
1,8,27,125,........


уже правило

не работает.
Может быть причина в том что если у нас имеются два, и более рядов чисел, которые выстроены каждый по своим правилам,то, правило выведенное в одном ряду, не распространяется на другой(е) ряд(ы).
Опять же, это на уровне идеи.Как бы путь для возможного поиска решения задачи.