Оценить асимптотику для суммы

[Руст]

Цитата:

Если считать вычет как как коэффициент перед $\frac{1}{z}$ в разложении Маклорена, то мы получим $\frac{i^{m+1}}{(m+1)!}(m-1-2j)^{m+1}$, то есть придём к тому, с чего начали.

На самом деле суть не в вычислении вычета, который и выбирается, чтобы он совпал с вычисляемой суммой, а получение функции, дающий такой вычет. Далее приводим к вычислению интеграла по действительной прямой и оценим этот интеграл для больших n.

[forspam86]

Так в том-то и дело, функция, дающая необходимый вычет, имеет вид

$$-\frac{m+1}{(2i)^{m+1}}\sum_{j=0}^{\lfloor{m/2}\rfloor-1}(-1)^j{m\choose j}\frac{e^{i(m-1-2j)x}}{x^{m+2}}.$$

Теперь вычет этой функции необходимо выразить через интеграл, но не по вещественной прямой (так как вещественная прямая проходит через 0 — особую точку нашей функции), а по положительно ориентированному замкнутому контуру, который окружает точку 0. В качестве замкнутого контура я выбрал единичную окружность, и при вычислении интеграла по этой окружности у меня, к сожалению, не сходится ответ.

$$\mathop{\mathrm{res}}_{z=0}\frac{e^{i(m-1-2j)z}}{z^{m+2}}=\frac{1}{2\pi{i}}\int\limits_{|z|=1}\frac{e^{i(m-1-2j)z}}{z^{m+2}}dz=|z=e^{i\varphi},dz=ie^{i\varphi}d\varphi|=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}e^{i((m-1-2j)e^{i\varphi}-\varphi(m+1))}d\varphi.$$

Вот, левое выражение \large$\mathop{\mathrm{res}}\limits_{z=0}\frac{e^{i(m-1-2j)z}}{z^{m+2}}$ равно $\frac{i^{m+1}}{(m+1)!}(m-1-2j)^{m+1}$, в то время как правое варажение \large$\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}e^{i((m-1-2j)e^{i\varphi}-\varphi(m+1))}d\varphi$ равно 0 по вышеописанным причинам.

[Руст]

forspam86 в сообщении #318041 писал(а):

Так в том-то и дело, функция, дающая необходимый вычет, имеет вид

$$-\frac{m+1}{(2i)^{m+1}}\sum_{j=0}^{\lfloor{m/2}\rfloor-1}(-1)^j{m\choose j}\frac{e^{i(m-1-2j)x}}{x^{m+2}}.$$

Теперь вычет этой функции необходимо выразить через интеграл, но не по вещественной прямой (так как вещественная прямая проходит через 0 — особую точку нашей функции), а по положительно ориентированному замкнутому контуру, который окружает точку 0. В качестве замкнутого контура я выбрал единичную окружность, и при вычислении интеграла по этой окружности у меня, к сожалению, не сходится ответ.

$$\mathop{\mathrm{res}}_{z=0}\frac{e^{i(m-1-2j)z}}{z^{m+2}}=\frac{1}{2\pi{i}}\int\limits_{|z|=1}\frac{e^{i(m-1-2j)z}}{z^{m+2}}dz=|z=e^{i\varphi},dz=ie^{i\varphi}d\varphi|=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}e^{i((m-1-2j)e^{i\varphi}-\varphi(m+1))}d\varphi.$$

Вот, левое выражение \large$\mathop{\mathrm{res}}\limits_{z=0}\frac{e^{i(m-1-2j)z}}{z^{m+2}}$ равно $\frac{i^{m+1}}{(m+1)!}(m-1-2j)^{m+1}$, в то время как правое варажение \large$\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}e^{i((m-1-2j)e^{i\varphi}-\varphi(m+1))}d\varphi$ равно 0 по вышеописанным причинам.

С чего взяли, что последнее 0. Вычисление по окружности ничего не даст. Вычислять по действительной прямой означало вычисление, точнее оценку главного значения интеграла, когда он берется от - бесконечности до плюс бесконечности, за исключением от - епсилон до + епсилон, при устремлении епсилон к нулю.

[forspam86]

Ой, не 0. Но всё равно получается другое значение. Например, при $m=2$ и $j=0$ получается так: \large$\mathop{\mathrm{res}}\limits_{z=0}\frac{e^{i(m-1-2j)z}}{z^{m+2}}=-\frac{i}{6}$, а \large$\frac{1}{2\pi{i}}\int\limits_0^{2\pi}e^{i((m-1-2j)e^{i\varphi}-\varphi(m+1))}d\varphi\approx 0.0322-0.0238i$.

К сожалению, для главных значений интеграла теорема о вычетах не работает. Так как интеграл берётся по связному контуру, то чтобы было правильно, следует брать интеграл от $-\infty$ до $+\infty$, за исключением от $-\varepsilon$ до $+\varepsilon$, и к нему прибавить интеграл по нижней (Im z < 0) полуокружности с центром в нуле и радиусом $\varepsilon$. Устремлять $\varepsilon$ к нулю при этом не обязательно, так как такой суммарный интеграл от $\varepsilon$ не зависит.

Проблема в том, что у меня возникают ошибки при подсчётах. Где именно, я не понимаю. Или в нахождении формулы для интеграла, или в вычислении самого интеграла. Иначе бы совпадали ответы, полученные через вычеты, и ответы, полученные подстановкой вместо z её выражения через вещественный параметр (например, $\varphi$).

[Руст]

Цитата:

Ой, не 0. Но всё равно получается другое значение. Например, при $m=2$ и $j=0$ получается так: \large$\mathop{\mathrm{res}}\limits_{z=0}\frac{e^{i(m-1-2j)z}}{z^{m+2}}=-\frac{i}{6}$, а \large$\frac{1}{2\pi{i}}\int\limits_0^{2\pi}e^{i((m-1-2j)e^{i\varphi}-\varphi(m+1))}d\varphi\approx 0.0322-0.0238i$.

И перрвое и второе должны быть $\frac{-5^7i}{7!}$.

Цитата:

К сожалению, для главных значений интеграла теорема о вычетах не работает. Так как интеграл берётся по связному контуру, то чтобы было правильно, следует брать интеграл от $-\infty$ до $+\infty$, за исключением от $-\varepsilon$ до $+\varepsilon$, и к нему прибавить интеграл по нижней (Im z < 0) полуокружности с центром в нуле и радиусом $\varepsilon$. Устремлять $\varepsilon$ к нулю при этом не обязательно, так как такой суммарный интеграл от $\varepsilon$ не зависит.

От епсилон не зависит вся сумма интегралов (она равна нулю), а части по прямой и по полуокружности зависят.

Цитата:

Проблема в том, что у меня возникают ошибки при подсчётах. Где именно, я не понимаю. Или в нахождении формулы для интеграла, или в вычислении самого интеграла. Иначе бы совпадали ответы, полученные через вычеты, и ответы, полученные подстановкой вместо z её выражения через вещественный параметр (например, $\varphi$).

Вы не то считаете. Вычеты надо использовать только для нахождения мероморфной функции с полюсом в 0, а оценить интеграл (главное значение) по действительной прямой.

[forspam86]

О, я пересчитал, наконец-то ответы слева и справа сошлись, спасибо.
Следующий шаг самый непонятный: поскольку вычет мы считали для элемента суммы, в результате получается интеграл от выражения, содержащего несвёрнутый знак суммирования:

$$-\frac{1}{2^{m+1}m!}\sum_{j=0}^{\lfloor{m/2}\rfloor-1}(-1)^j{m\choose j}(m-1-2j)^{m+1}=-\frac{m+1}{(2i)^{m+1}2\pi}\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\sum_{j=0}^{\lfloor{m/2}\rfloor-1}(-1)^j{m\choose j}e^{i((m-1-2j)e^{i\varphi}-\varphi(m+1))}$$

(это если брать интеграл по единичной окружности).

Руст в сообщении #318224 писал(а):

От епсилон не зависит вся сумма интегралов (она равна нулю), а части по прямой и по полуокружности зависят.

Вы не то считаете. Вычеты надо использовать только для нахождения мероморфной функции с полюсом в 0, а оценить интеграл (главное значение) по действительной прямой.

Это верно, но нам ведь нужно посчитать именно всю сумму интегралов. Вообще, последовательность наших действий представляется тремя последовательными переходами:

выражение для суммы = вычет некоторой функции = интеграл ≤ верхняя оценка.

Первый переход (выражение для суммы = вычет некоторой функции) совершается на основе непосредственно определения вычета.
Второй переход (вычет некоторой функции = интеграл) совершается на основе теоремы о вычетах. Теорема о вычетах гласит, что вычет функции в особой точке можно представить через интеграл этой функции по замкнутому положительно ориентированному контуру, обходящему эту особую точку и не проходящему через неё. Именно поэтому здесь не может взяться интеграл по действительной прямой (так как действительная прямая проходит через особую точку 0). Нужно выбрать другой контур, чтобы он обходил точку 0 и не проходил через неё. Например, можно взять такой контур (для фиксированного $\varepsilon>0$): луч $(-\infty;-\varepsilon]$, после этого нижняя (Im z < 0) полуокружность с центром в нуле и радиусом $\varepsilon$, ну и после этого луч $[+\varepsilon;+\infty)$. При этом второй участок контура (нижняя полуокружность) даст формулу, аналогичную предыдущей — это будет интеграл по углу $\varphi$.
Поэтому мне кажется, что оценить интеграл по единичной окружности не сложнее, чем и по этому составному контуру. Проблема здесь как раз в третьем переходе (интеграл ≤ верхняя оценка). Когда мы записали интеграл по какому-нибудь из этих контуров, подынтегральная функция имеет сложный вид: в формуле для неё содержится явный знак суммирования. Вот непонятно, как её оценивать.

[Руст]

Цитата:

Это верно, но нам ведь нужно посчитать именно всю сумму интегралов.

Цитата:

Всю сумму я понимал как полуокружность около нуля главное значение по прямой и полуокружность около бесконечности (который стремится к нулю). Соответственно интеграл по полуокружности около нуля (вычисляемая через вычет) равна со знаком минус главного значения интеграла по действительной прямой.

Цитата:

Поэтому мне кажется, что оценить интеграл по единичной окружности не сложнее, чем и по этому составному контуру. Проблема здесь как раз в третьем переходе (интеграл ≤ верхняя оценка). Когда мы записали интеграл по какому-нибудь из этих контуров, подынтегральная функция имеет сложный вид: в формуле для неё содержится явный знак суммирования. Вот непонятно, как её оценивать.

Не думаю, что это проще. В любом случае вы можете выбрать более подходящую замкнутую путь, когда легче оценить. Я предложил сведение к действительной прямой.