Задача из С6: решить уравнение в целых числах

[LA_Homie]

помогите решить в целых числах такое уравнение. Я хожу вокруг да около но не могу подобраться.
$m^4-2n^2=1$
Я новенький, поэтому если что не так)

[ИСН]

Короче, про школьный метод я подумаю потом, а пока так. Решим сначала $a^2-2n^2=1$. Это уравнение Пелля и про него известно всё. Будут получаться следующие a: 1, 3, 17, 99, 577... Получится ли когда-нибудь квадрат (ну, кроме начальной 1)? Ведь почти попадает! То перелёт на 1, то недолёт...

[Ales]

Попробуйте разложить на множители $m^4-1=2n^2$

[LA_Homie]

Огромное спасибо. Тока как записать, что именно 1 и -1 и о должны быть решениями, а не 3, 17.
ЗЫ: изучаю уравнение пеля

[maikle]

Цитата:

Это уравнение Пелля

Если не секрет, его в школе проходят?

[LA_Homie]

у нас нет. Знаю, что на лекции в МГУ такое давакли (точнее из Гугла сегодня узнал)

[ИСН]

Вообще-то оно тут не нужно, но Вы продолжайте, это полезно в любом случае.

[maikle]

Вот и я про то же

[Legioner93]

Посмотрите, что можно сказать о чётности неизвестных и сразу заменяйте их на $2k$ или $2k+1$. Дальше нужно будет применить факт, что если факторизованное число разбить на несколько групп без общих множителей, то каждая из этих групп - квадрат натурального числа. Дальше там просто.

[Mathusic]

Имеем: 2n^2=m^4-1, видим, m - нечётно, значит m=2k+1. Тогда
2n^2=((2k+1)^2-1)((2k+1)^2+1)=8k(k+1)(2k(k+1)+1)
n^2=4k(k+1)(2k(k+1)+1). Пусть теперь n=2p, имеем:
p^2=k(k+1)(2k(k+1)+1).
Из такого представления очевидно, что любой простой множитель, содержащийся в разложении k, не входит в разложение оставшейся части, то есть (2k(k+1)+1), а значит, k есть точный квадрат (либо -a^2). Аналогично получаем, что k+1 так же квадрат (либо -a^2). Отсюда легко получаем m=\pm 1.