Сделал всё, что мог: уточнил определения и формулировки, проиллюстрировал процесс формирования последовательностей С, подготовил текст под ТЕХ. Но тег
почему-то срывается где-то посередине текста, а остальная часть текста самопроизвольно выделяется. Помогите, пожалуйста.
Показано, что бинарная задача является леммой в доказательстве тернарной задачи, и формулировки обеих задач справедливы для всех элементов бесконечного множества целых натуральных чисел N.
Тернарная задача: любое натуральное целое число N, начиная с 6, можно представить суммой трёх простых чисел (P). Если N - чётное, одно из P всегда равно 2, если нечётное, то на его месте может быть любое нечётное P. Во всех случаях, другие два P в сумме дают чётное число. Тогда для доказательства тернарной задачи необходимо и достаточно доказать, что любое N=2n=P_1+P_2 (бинарная задача).
Бесконечное множество всех целых натуральных чисел N бразует линейную числовую ось. Если два любых числа в сумме равны 2n, то на оси n они симметричны n. Действительно, если N_1 = n - x, а
N_2 = n + x, то N_1 + N_2 = 2n. Это означает, что оба P в бинарной задаче всегда симметричны n. Воспользуемся этим свойством. Будем условно считать, что любая позиция числовой оси до появления на ней составного числа (C) представляет P. Часть P и C могут быть одиночными (не имеющими симметричных им чисел на другой половине отрезка n), а часть образует пары, симметричные n (в дальнейшем - просто пары P или C). Когда мы имеем дело с парой C, оказавшейся на месте пары P, как мы условились считать, и "разрушающей" эту пару P, достаточно одного C из этой пары. Отсюда следует, что узнать количество пар P на любом отрезке 2n оси n можно, зная количество C. Чтобы получить неискажённое количество пар P, исходя из известного общего количества C на выбранном 2n, одно C из каждой пары C надо будет исключить.
Чтобы получить количество C, обратимся к определению: любое нечётное C=(2m+1)(2k+1)=d_md_k - произведению двух делителей, где m=1,2,3,... и k=m+0,1,2,3,... (m и k могут использоваться и как индексы, указывающие, что обозначаемая ими величина относится к соответствующему делителю). Если упорядоченно, начиная с m=1, перебирать при каждом значении m все k до появления
2n - C_{m,k} < t_m (t_m=2d_m - период следования C в последовательности S_m), получим все C на отрезке 2n, расслоенные на последовательности S_m делителей d_m.
Пример для 2n=212:
S_1(d_1=3, t_1=6):......9;15;21;... ;33;39;45;51;... ;63;... 105;111;...129;135;141;165;...147; ... 195;197;203;209.
S_2(d_2=5, t_2=10):....25;35;45;55;65;75;85;95;105;115;125;135;145;155;165;175;185;195;205.
S_3(d_3=7, t_3=14):....49;63;77;91;105;119;133;147;161;175;189;203.
S_4(d_4=9, t_4=18):.....81;99;117;135;153;171;189;197.
S_5(d_5=11, t_5=22):..121;143;165;187;209.
S_6(d_6=13, t_6=26):..169;195.
Множество C на оси n представляет собой суперпозицию всех S_m. Во всех S_m, кроме S_1, имеются избыточные числа (подчёркнуты), равные числам в младших S_m, которые при наложении на ось n взаимно поглощаются, сливаясь в одно число. Когда индекс m является составным числом, вся S_m поглощается младшими (в нашем примере - S_4) и может не приниматься во внимание. Расслоение множества C на оси n по делителям в дальнейшем позволит понять механизм формирования пар P и определить их количество.
Требование бинарной задачи будет выполнено, если будет выполняться условие, представленное формулой: В = n/2-1 - (A_0 - A_1) > 0, где B - количество пар P, n/2-1 - количество симметричных нечётных позиций, A_0 - количество всех C, и А1 - количество пар C на любом выбранном отрезке 2n. Напомним, что A_1 есть количество C, подлежащих исключению. Сделаем сначала качественную оценку подчёркнутого выражения.
1. Член n/2 растёт линейно. Каждое увеличение n на 1 добавляет одну пару позиций для виртуальной пары P. Эта пара P может быть разрушена любым C, попавшим на место одного из P. Рост n опережает появление разрушающих C, так как C могут следовать с периодом от t=2 до t=6 (в S_1), а n - всегда с одним и тем же периодом t=1.
2. Рост величины A0 относительно роста n с каждой новой S_{m+1} замедляется поскольку в S_{m+1} всегда содержится меньше чисел, чем в S_m (так как t_{m+1} > t_m). И хотя весь массив C с ростом 2n тоже растёт, и все последовательности удлиняются, скорость роста A_0 относительно скорости роста n/2 всегда меньше, что приводит к возрастанию В. Так учитывается влияние фактора количества C.
3. A_1 с ростом n изменяется только в сторону увеличения и, при этом - скачками разной величины. Величина скачка зависит от того, к каким S_m на выбранном отрезке 2n принадлежат младшие делители d_m в каждом C из пары. Если - к одной и той же, то количество совпадений наибольшее, и скачок A_1 максимален. Максимальные скачки A_1 возникают всякий раз, когда к группе младших S_m при увеличении 2n появляеися очередная старшая S_{m+1}. В этих случаях В=B_max. При совпадении младших d_m из максимально удалённых друг от друга разных S_m имеем В=В_min. Это происходит, когда общий центр симметрии (n_0) соседних S_m смещен на 1: n_0=d_1d_2d_3...d_{m+1}. С каждой дополнительной S_{m+1} все значения В, включая В_min, могут только расти (или оставаться прежними), что гарантирует наличие пар P на всём протяжении бесконечной числовой оси. Так учитывается влияние фактора симметрии P.
Величина В_min играет определяющую роль: утверждения задач будут доказаны, если В_min > 0 при любых n.
В принципе, регулярность S_m позволяет расчётным путём выявить механизм формирования Р и С на числовой оси, определить A_0 и A_1 и оценить развитие процесса по аналитическим выражениям. Однако, путь расчётов крайне запутан из-за необходимости удалять избыточные С, а аналитические выражения при этом получаются не наглядными и не убедительными.
В то же время, числовая ось - детерминированный объект, единственный в своём роде, адэкватный механизму её формирования. Поскольку нам известен механизм формирования пар Р, а взаимное поглощение избыточных C реализуется в процессе наложения S_m автоматически, то проще и вполне корректно получать В и В_min из реальной числовой оси эмпирически, путём прямого подсчёта их величин. Достоверность сказанного выше была проверена на модели числовой оси в трёх точках n_0 (поскольку S_4 образована из составных чисел и не вносит в массив дополнительных C, она была пропущена). Были получены cледующие значения В в точках n_0 и вблизи них:
n......14..15..16..17..18..19..20..21.....104..105..106..107..108..109..110..111.........1156...1159
В.......3....3....2....4.....4....2....2....4.........7.....19.....6.......6......13.....7......9.... .11............34........35
1. n_0=d_1d_2+1=16 (2n=32), В_min=2.
2. n_0=d_1d_2d_3+1=106 (2n=212), В_min=6.
3. n_0=d_1d_2d_3d_5+1=1156 (2n=2312), В_min=34.
Значения В=В_min вблизи n_0 могут повторяться, но не могут быть меньше, чем при n_0+1. Проанализируем полученные результаты:
При росте 2n в 212/32=6,625 раза, В_min вырос в 6/2=3 раза.
При росте 2n в 2312/212=10,905 раза, В_min вырос в 34/6=5,6(6) раз.
Изменение роста 2n в 10,905/6,625=1,646 раза привело к изменению роста В_min в 5,6(6)/3=1,888 раз, то есть прогресс роста В_min относительно прогресса продвижения по оси n: 1,888/1,646=1,147 раз.
Количественная оценка подтверждает качественную оценку известного механизма формирования множеств C и пар P.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Выявленный механизм формирования структур P и C действует на всём протяжении числовой оси, что позволяет распространить на любые значения n результат, полученный на начальном участке оси.
Величина В с ростом n возрастает и поэтому не может быть равной нулю ни при каком значении n. То есть наборы P_1+P_2 существуют на всём бесконечном множестве чётных N. Требование бинарной задачи выполняется при любых N. Что и требовалось доказать. Отсюда, и утверждение Гольдбаха справедливо для всех целых натуральных чисел, начиная с 6.
Ноябрь 2008 года, Хайфа. Золотаревский Борис Леонович
04.05.2010, 12:22 
, или Вы здесь подразумеваете что-то свое? 
?
? tm - это 
? 
до 
"?
. Введение 
для редактирования своих сообщений.