Бесконечные четырехтактные радикалы.

[Vvp_57]

В выражении:
$\sqrt{34-3\sqrt{34+3\sqrt{34+3\sqrt{34+3\sqrt{34-3\sqrt{34+3\sqrt{34+3\sqrt{34+3\sqrt{34-....}}}}}}}}}=3.39753986539198....$
Знаки чередуются, минус потом три плюса, минус, три плюса.
Можно ли доказать, что число $3.39753986539198....$ выражается
в квадратных радикалах?

[age]

А выражается ли в квадратных радикалах число $\sqrt[4]{2}$

[Vvp_57]

Конечно, будет:$\sqrt{a+b\sqrt{c}}\Rightarrow \sqrt{\sqrt{2}}\Rightarrow \sqrt[4]{2}$.

[RIP]

Можно доказать. Можно даже выписать явное представление: $\frac{a-\sqrt{\frac23a^3-\frac13a^2-84a+130}}2$, где $a=\frac{\sqrt{433}+\sqrt{578-2\sqrt{433}}-1}4$.

[Vvp_57]

RIP в сообщении #313414 писал(а):

Можно доказать. Можно даже выписать явное представление: $\frac{a-\sqrt{\frac23a^3-\frac13a^2-84a+130}}2$, где $a=\frac{\sqrt{433}+\sqrt{578-2\sqrt{433}}-1}4$.

Великолепно! Огромное спасибо. Быстро, информативно,
со вкусом. Особенно интересен, кубический полином под
радикалом. Это для меня просто открытие. Если нетрудно,
пожалуйста найдите еще выражение для такого бесконечного
радикала:
$\sqrt{144-5\sqrt{144+5\sqrt{144+5\sqrt{144+5\sqrt{144-5\sqrt{144+5\sqrt{144+5\sqrt{144+5\sqrt{144-....}}}}}}}}}=8.38891507487357....$

[RIP]

$\frac{a-\sqrt{\frac25a^3-\frac35a^2-220a+566}}2$, где $a=\frac{\sqrt{2001}+\sqrt{2402-2\sqrt{2001}}-1}4$.
P.S. Хмм, это наводит на некие мысли...

[Vvp_57]

RIP в сообщении #313519 писал(а):

$\frac{a-\sqrt{\frac25a^3-\frac35a^2-220a+566}}2$, где $a=\frac{\sqrt{2001}+\sqrt{2402-2\sqrt{2001}}-1}4$.
P.S. Хмм, это наводит на некие мысли...

Замечательно. Большое Вам спасибо. Брожу по порталам,
везде молчок. А Вы сходу решили! Классно. Теперь для
анализа хорошо бы решить еще два примерчика, если
конечно у Вас найдется время. Один:
$\sqrt{380-7\sqrt{380+7\sqrt{380+7\sqrt{380+7\sqrt{380-7\sqrt{380+7\sqrt{380+7\sqrt{380+7\sqrt{380-....}}}}}}}}}=14.7334011473829....$
уже небудет сложным.
И второй, может и неполучиться....:
$\sqrt{8-\sqrt{2}-\sqrt{8-\sqrt{2}+\sqrt{8-\sqrt{2}+\sqrt{8-\sqrt{2}+\sqrt{8-\sqrt{2}-\sqrt{8-\sqrt{2}+\sqrt{8-\sqrt{2}+\sqrt{8-\sqrt{2}+\sqrt{8-\sqrt{2}-....}}}}}}}}}=1.8645740....$

[RIP]

$\frac{a-\sqrt{\frac27a^3-\frac57a^2-420a+1506}}2$, где $a=\frac{\sqrt{5489}+\sqrt{6274-2\sqrt{5489}}-1}4$.
$\frac{b-\sqrt{2b^3+(5-4\sqrt2\,)b^2-(28+16\sqrt2\,)b+26}}2$, где $b=\frac{-3+2\sqrt2+\sqrt{65+20\sqrt2}+\sqrt{98+8\sqrt2-(6-4\sqrt2\,)\sqrt{65+20\sqrt2}}}4$.

[Vvp_57]

RIP в сообщении #313917 писал(а):

$\frac{a-\sqrt{\frac27a^3-\frac57a^2-420a+1506}}2$, где $a=\frac{\sqrt{5489}+\sqrt{6274-2\sqrt{5489}}-1}4$.
$\frac{b-\sqrt{2b^3+(5-4\sqrt2\,)b^2-(28+16\sqrt2\,)b+26}}2$, где $b=\frac{-3+2\sqrt2+\sqrt{65+20\sqrt2}+\sqrt{98+8\sqrt2-(6-4\sqrt2\,)\sqrt{65+20\sqrt2}}}4$.

Еще раз спасибо. Больше вопросов у меня по этой теме нет. Пока буду анализировать уже найденные формулы.