Задача на максимум

[cyb12]

Помогите найти максимум по $n$ функции $\frac{n^a}{n!}$, где $a$ - фиксированное натуральное число, $n$ - тоже натуральное.

[ShMaxG]

Я так понимаю, задачу можно свести к нахождению экстремума функции $\[g\left( x \right) = \frac{{{x^a}}} {{G\left( x \right)}}\] $, в знаменателе - гамма-функция. Точка экстремума необходимо удовлетворяет условию:

$\[aG\left( x \right) = G'\left( x \right)x\]$

Если умеете такие уравнения решать (аналитически или численно), то, зная икс... дальше сами знаете, что делать. Более того, икс-то сам по себе даже знать не обязательно, важно только его целую часть знать.

Интересно, как можно попроще...

[ИСН]

Всё бы пугать! Гамма, производные... Сказано же - натуральное число.
cyb12, задумайтесь: в ряду значений для разных n каждое следующее значение во сколько раз больше (меньше) предыдущего?

[cyb12]

ИСН в сообщении #308875 писал(а):

Всё бы пугать! Гамма, производные... Сказано же - натуральное число.
cyb12, задумайтесь: в ряду значений для разных n каждое следующее значение во сколько раз больше (меньше) предыдущего?

Задумывался. Собственно потому и спросил, что не получилось. Если рассмотреть отношение следущего к предыдущему, будет $\frac{(n+1)^{a-1}}{n^a}$. Сравнение с 1 может дать сравнение многочлена степени $a$ с 0, которое не понятно как решать. Либо что-то другое. Но что?

[neo66]

Если посчитать производную функции $f(x)=\frac{(x+1)^{a-1}}{x^a}$, нетрудно убедиться, что она отрицательна при $x>0, a>0$. Это означает, что последовательность $\frac{n^a} {n!}$ сначала монотонно возрастает до некоторого максимума, а затем монотонно убывает. Поэтому наш максимум достигается при максимальном целом решении неравенства $\frac{x^{a-1}}{(x-1)^a }>1}$.

[cyb12]

neo66 в сообщении #308911 писал(а):

Если посчитать производную функции $f(x)=\frac{(x+1)^{a-1}}{x^a}$, нетрудно убедиться, что она отрицательна при $x>0, a>0$. Это означает, что последовательность $\frac{n^a} {n!}$ сначала монотонно возрастает до некоторого максимума, а затем монотонно убывает. Поэтому наш максимум достигается при максимальном целом решении неравенства $\frac{x^{a-1}}{(x-1)^a }>1}$.

И до этого я тоже дошел. Собственно вопрос в том, как найти это решение.

[neo66]

Точно, наверное, никак. Пусть $x>1$ - корень уравнения $x^{a-1}={(x-1)}^a$. Тогда $n_{opt}=[x]$.

[cyb12]

А можно ли оценить сам максимум сверху?

[cyb12]

С дифференцированием гамма-функции возникают большие проблемы. А ведь кажется, что исходная задача проста. Будто школьная.

[ewert]

Она не школьная. Ясно, что решения в явном виде нет. Ну можно найти асимптотику, но это -- уже не школьность.

[JMH]

А может быть так: функция возрастающая для $n\leq a$, затем функция начинает убывать, след. максимум достигается в $n=a$?

[JMH]

JMH в сообщении #310090 писал(а):

А может быть так: функция возрастающая для $n\leq a$, затем функция начинает убывать, след. максимум достигается в $n=a$?

Вот это сморозил так сморозил...

[cyb12]

JMH в сообщении #310095 писал(а):

JMH в сообщении #310090 писал(а):

А может быть так: функция возрастающая для $n\leq a$, затем функция начинает убывать, след. максимум достигается в $n=a$?

Вот это сморозил так сморозил...

На самом деле так и есть, если строить графики при разных $a$. Причем функция почти везде достаточно мала, но есть отрезок, на котором она принимает весьма большие значения и там достигается максимальное значение.

Уже бы хоть оценить это значение...

[cyb12]

Пересмотрел условие. Есть дополнительное требование $n<a$, $a>2$. Хотя, как мне кажется, в данном случае так и будет. Оценка $\frac{a^a}{2}$ тривиальна (кстати, при $a=2$ она достигается). Но вообще она очень грубая. Да и числа там большие. Например, при $a = 11$ максимум достигается при $n=7$ и равен 503885. При этом $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^a}{a!}=0$.

[ИСН]

Ну, замените e-образное выражение пределом, там получится асимптотика. Корявая, правда, и медленно сходящаяся, но уж какая есть.