Количество решений степенного уравнения с дробными частями

[frankusef]

Сколько иррациональных решений имеет уравнение

$$\{x^5\}=\{x\}^5$$

на промежутке $x\in[1;1000]?$Если можно с доказательством. Желательно также рассмотреть аналог

$$\{x^n\}=\{x\}^n$$

для произвольного натурального n.

[frankusef]

Блин $x\in(1;1000]?$Но это, как мне кажется, не имеет особого значения.

[frankusef]

В силу некоторых размышлений по данному поводу выскажу гипотезу о том, что данное уравнение разрешимо в конечном только при $n=1,2,3,4,5.$Кстати, для $n=5$ справедлива эвристичная оценка для количества рациональных решений

$$I_Q(\delta;\delta+1)\le\sum\limits_{k=1}^{5\delta-1}\mathfrak{R}_k(5\delta),$$

где $\mathfrak{R}_k(5\delta)$ - количество всех правильных дробей $\frac{\alpha}{\beta}$, таких что $\alpha|k$,$\beta|5\delta$. Отсюда приходим к нижней оценке для количества иррациональных решений

$$I_{irQ}(\delta;\delta+1)\ge(\delta+1)^5-\delta^5-\sum\limits_{k=1}^{5\delta-1}\mathfrak{R}_k(5\delta),$$

. Может ли кто отыскать лучшую оценку?

[venco]

В диапазоне (k,k+1] $\{x^5\}$ пробегает значения отрезка [0,1] $(k+1)^5-k^5$ раз, а $\{x\}^5$ - только раз.
Соответственно и пересекутся они $(k+1)^5-k^5$ раз. Осталось просуммировать по $k$ от $1$ то $999$.
Аналогично для произвольной степени.
Есть некоторая сложность выделить рациональные корни, если это действительно важно.

[frankusef]

Цитата:

В диапазоне (k,k+1] $\{x^5\}$ пробегает значения отрезка [0,1] $(k+1)^5-k^5$ раз, а $\{x\}^5$ - только раз.
Соответственно и пересекутся они $(k+1)^5-k^5$ раз. Осталось просуммировать по $k$ от $1$ то $999$.

Ну до этого я сам дошел.

Цитата:

$$I_{irQ}(\delta;\delta+1)\ge(\delta+1)^5-\delta^5-\sum\limits_{k=1}^{5\delta-1}\mathfrak{R}_k(5\delta),$$

___________________

Цитата:

Есть некоторая сложность выделить рациональные корни, если это действительно важно.

В этом и состоит вопрос. А что насчет гипотезы - есть догадки?

[RIP]

Странная какая-то гипотеза. Количество рациональных решений на промежутке $[n,n+1)$ равно, очевидно, наибольшему натуральному числу $q$, удовлетворяющему условию $q^4|5n$ (рациональными решениями будут числа $n+a/q$, $0\le a<q$, и только они). Соответственно, кол-во иррациональных равно $(n+1)^5-n^5-1-q$.

Более общо, если $p$ --- простое число, то количество рациональных решений уравнения $\{x^p\}=\{x\}^p$ на промежутке $[n,n+1)$ ($n\in\mathbb N$) равно наибольшему натуральному числу $q$, удовлетворяющему условию $q^{p-1}|pn$. С непростыми показателями уже надо возиться.

[frankusef]

Сейчас объясню в чем странность. Я рассуждал так. Пусть $\{x\}=\epsilon$ $[x]=\delta$. Тогда

$$\{\epsilon^n+C_n^1\epsilon^{n-1}\delta\+...+C_n^{n-1}\epsilon\delta^{n-1}+\delta^n}\}=\epsilon^n,$$

откуда следует, что $C_n^1\epsilon^{n-1}\delta\+...+C_n^{n-1}\epsilon\delta^{n-1}=k\in\mathbb Z_0$. Тут, понятное дело, нужно искать действительные решения данного уравнения, когда $k$ пробегает от $1$ до $(\delta+1)^5-\delta^5$, и отсеивать иррациональные корни, но при выше чем $n=4$ оно не решается в конечном виде (Вот так возникла эта гипотеза).

Цитата:

Количество рациональных решений на промежутке $[n,n+1)$ равно, очевидно, наибольшему натуральному числу $q$, удовлетворяющему условию $q^4|5n$ (рациональными решениями будут числа $n+a/q$, $0\le a<q$, и только они).

Как Вы получили данный результат, опишите пожалуйста.

[RIP]

А чего там получать? Вы же уже практически всё написали. Только $k$ добегает только до $(\delta+1)^n-\delta^n-2$.

При каждом целом $k$, $0\le k<(\delta+1)^n-\delta^n-1$, уравнение $\binom n1\delta\epsilon^{n-1}+\ldots+\binom n{n-1}\delta^{n-1}\epsilon=k$ имеет единственное решение (относительно $\epsilon\in[0,1)$). То есть всего решений $x\in[\delta,\delta+1)$ без учёта (ир)рациональности равно $(\delta+1)^n-\delta^n-1$. Посчитать количество рациональных решений очень легко, если $n=p$ простое. Для этого надо заметить, что $\binom p1\delta\epsilon^{p-1}+\ldots+\binom p{p-1}\delta^{p-1}\epsilon=p\delta f(\epsilon)$, где $f(\epsilon)=\epsilon^{p-1}+\ldots\in\mathbb Z[\epsilon]$. Поэтому, если $\epsilon\in\mathbb Q$ имеет знаменатель $d$, то $f(\epsilon)$ имеет знаменатель $d^{p-1}$. Соответственно, $p\delta f(\epsilon)\in\mathbb Z$ тогда и только тогда, когда $d^{p-1}|p\delta$, т.е. $\epsilon$ имеет вид $a/q$, где $q$ --- наибольшее натуральное, что $q^{p-1}|p\delta$, $a\in\mathbb Z$. Учитывая, что $0\le\epsilon<1$, получаем $0\le a<q$.

P.S. Если я опять не накосячил, то количество рациональных решений уравнения $\{x^5\}=\{x\}^5$ при $x\in[1,N)$ (приближённо) равно $cN+O(N^{1/2})$, где $c=\frac{1200\zeta(3)}{13\pi^4}=1.1391\ldots$. Соответственно, количество иррациональных решений есть $N^5-(c+1)N+O(N^{1/2})$. Для произвольного простого $n=p\ge3$ тоже можно посчитать, но мне уже лень. Если прикинуть на глазок, то там получается постоянная $\dfrac{1+\dfrac1{p^{p-3}}-\dfrac2{p^{p-2}}}{1-\dfrac1{p^{p-1}}}\cdot\dfrac{\zeta(p-2)}{\zeta(p-1)}$, но не уверен, врать не буду.

[frankusef]

Ну да, в принципе тривиальная (чет сразу не додумал) задача решена. Спасибо! И еще, получается, что для произвольного непростого $n$ рациональные корни находятся простым перебором, то есть, естественно $\epsilon$-ы рациональных корней будут иметь вид правильной дроби $a/q$, где $a|k$, $q|n\delta$, верно для каждого $k\in\overline{1;(\delta+1)^n-\delta^n-2}$?

-- Пн апр 12, 2010 13:05:19 --

Можно попробовать найти применение(я) данному результату. Например, попытаться определить поведение дробной части суммы

$$\sum\limits_{k=1}^{m}\sqrt[r]{n+b_k},$$

. Ну, допустим коэффициенты $b_k$ такие, что для произвольного натурального $n$ выполняется неравенство

$$\left\{\sum\limits_{k=1}^{m}\sqrt[r]{n+b_k}\right\}^r\le\left\{\left(\sum\limits_{k=1}^{m}\sqrt[r]{n+b_k}\right)^r\right\},$$

тогда очевидно

$$\left\{\sum\limits_{k=1}^{m}\sqrt[r]{n+b_k}\right\}\le\sqrt[r]c=const.$$

Найти эти $b_k$, если таковы существуют(условие иррациональности радикалов в суммах обязательны).