2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Несобственный интеграл
Сообщение31.03.2010, 23:58 


21/12/09
6
Проверьте, пожалуйста, решение:
$ \int\limits_0^{2} \frac 1 {\sqrt[3] {(x^3-8)}} dx $ Я рассмотрел функцию: $\frac 1 {\sqrt[3] {12(x-2)}}$. $$ \int\limits_0^{2} \frac 1 {\sqrt[3] {12(x-2)}}} dx=\lim_{a\to 0}(\int\limits_0^{2-a} \frac 1 {\sqrt[3] {12(x-2)}}} d(x-2))=\lim_{a\to 0} \frac {3(x-2)^{2/3}} {2\sqrt[3] 12}}|\limits_0^{2-a}=$$$$\lim_{a\to 0} \frac {3} {2\sqrt[3] {12}}((2-a-2)^{2/3}-(-2)^{2/3})=\lim_{a\to 0} \frac {3} {2\sqrt[3] {12}}((-a)^{2/3}-(-2)^{2/3})=\frac {-3 \cdot (-2)^{2/3}} {2\sqrt[3] {12}} $$ Этот интеграл сходится, а следовательно и сходится первоначальный интеграл, т.к. их отношение равно единице.

 i  от модератора AD:
Категорически прошу здесь и далее разбивать на кусочки длинные формулы, потому что много у кого они просто в экран не влезают :roll:
(вот у меня всего 1366 точек, и уже кошмарики)

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение01.04.2010, 01:21 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Ответ правильный, только использованный Вами признак сходимости обычно используется для положительных подынтегральных функций. В Вашем случае это не так. Можно доказать абсолютную сходимость интеграла из которой и будет следовать сходимость интеграла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение01.04.2010, 01:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
их отношение не равно единице

но поступили Вы правильно

интеграл имеет в точке $t=2-x$ особенность вида $\int^0\frac{dt}{t^{1/3}}$


"правильное" доказательство того, что интеграл сходится, выглядело бы так:

$$ 
0\ge \int\limits_0^{2} \frac 1 {\sqrt[3] {(x^3-8)}} dx\ge \frac{1}{\sqrt[3]{12}} \int\limits_0^{2}\frac{dx}{\sqrt[3]{x-2}}\ge\cdots
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение01.04.2010, 02:01 
Заслуженный участник


08/09/07
841
paha в сообщении #305155 писал(а):
"правильное" доказательство того, что интеграл сходится, выглядело бы так:

$$ 
0\ge \int\limits_0^{2} \frac 1 {\sqrt[3] {(x^3-8)}} dx\ge \frac{1}{\sqrt[3]{12}} \int\limits_0^{2}\frac{dx}{\sqrt[3]{x-2}}\ge\cdots
$$

Значения полученное после вычисления интеграла будет комплексным числом, поэтому с нулём сравнивать нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение01.04.2010, 02:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Alexey1 в сообщении #305161 писал(а):
Значения полученное после вычисления интеграла будет комплексным числом,


не верьте матлабу и вольфраму)))
в теме "сходимость интегралов" никаких комплексных чисел нет.. $\sqrt[3]{-1}=-1$, бесальтернатиф

-- Чт апр 01, 2010 02:32:01 --

Alexey1 в сообщении #305161 писал(а):
Значения полученное после вычисления интеграла будет комплексным числом, поэтому с нулём сравнивать нельзя.

если уж вам очень хочется, можно и так



$$ \left| \int\limits_0^{2} \frac 1 {\sqrt[3] {(x^3-8)}} dx\right|\le \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \left|\int\limits_0^{2}\frac{dx}{\sqrt[3]{x-2}}\right|=\cdots $$[/quote]

хотя... тогда и $\sqrt[3]{1}$ придется не действительным числом считать... а сразу тремя комплексными)))

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение01.04.2010, 02:33 
Заслуженный участник


08/09/07
841
paha в сообщении #305163 писал(а):
в теме "сходимость интегралов" никаких комплексных чисел нет.. $\sqrt[3]{-1}=-1$, бесальтернатиф

То есть Вы хотите сказать, что $\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt[3]{x^3-8}}dx=(-1)^{\frac{1}{3}}\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt[3]{8-x^3}}dx \leq 0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение01.04.2010, 02:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Alexey1 в сообщении #305165 писал(а):
То есть Вы хотите сказать, что $\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt[3]{x^3-8}}dx=(-1)^{\frac{1}{3}}\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt[3]{8-x^3}}dx \leq 0$?


Да, именно это. Пример на сходимость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение01.04.2010, 02:40 
Заслуженный участник


08/09/07
841
А в чём тогда разница с записью $(-1)^{\frac{1}{3}}\leq0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение01.04.2010, 02:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Alexey1 в сообщении #305167 писал(а):
А в чём тогда разница с записью $(-1)^{\frac{1}{3}}\leq0$?


Разница чего с чем?

-- Чт апр 01, 2010 02:45:19 --

мы имеем дело явно с теорией интегрирования вещественных функций, поэтому Ваши придирки неактуальны

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение01.04.2010, 02:47 
Заслуженный участник


08/09/07
841
paha в сообщении #305168 писал(а):
Alexey1 в сообщении #305167 писал(а):
А в чём тогда разница с записью $(-1)^{\frac{1}{3}}\leq0$?

Разница чего с чем?

Разница записи $(-1)^{\frac{1}{3}}\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt[3]{8-x^3}}dx \leq 0$ и записи $(-1)^{\frac{1}{3}}\leq0$? Как это понимать? Неположительное комплексное число?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение01.04.2010, 02:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928

(Оффтоп)

хотел написать чему именно равно отношение интегралов, которое

evg в сообщении #305136 писал(а):
т.к. их отношение равно единице



и полез на Вольфрам получить численное значение

честно говоря я сам удивился когда уважаемый сервер дал в ответе невещественное число:^)

Это просто несовершенство вольфрама... В наше время никто бы и подумать не мог, что в ответе комплексное число


-- Чт апр 01, 2010 02:51:15 --

Alexey1 в сообщении #305169 писал(а):
Разница записи $(-1)^{\frac{1}{3}}\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt[3]{8-x^3}}dx \leq 0$ и записи $(-1)^{\frac{1}{3}}\leq0$? Как это понимать? Неположительное комплексное число?


$\sqrt[3]{-1}=-1$... здесь НЕТ никаких мнимостей

-- Чт апр 01, 2010 02:54:57 --

ведь когда Вас в шестом классе просили решить уравнение $x^2+1=0$ Вы говорили "решений нет"... и это был правильный ответ

а на алгебре на первом курсе правильный ответ $x=\pm i$

Так же и в теме "сходимость интегралов"
$\sqrt[3]{-1}=-1$, а в ТФКП нужно указывать ветвь корня

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение01.04.2010, 03:00 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Просто автор сообщения не правильно написал и имел ввиду предел отношения подынтегральных функций. Именно по этой причине он и использовал 12 в знаменателе (хотя это не обязательно). А так чтобы вычислить отношение интегралов, надо их вычислить а это и требуется сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение01.04.2010, 03:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Alexey1 в сообщении #305171 писал(а):
А так чтобы вычислить отношение интегралов, надо их вычислить а это и требуется сделать.


Не требовалось вычислять отношений никаких, и сам интеграл не требовалось вычислять. Только сказать "сходится", или "расходится"

Пользуйтесь мат. пакетами с умом

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение01.04.2010, 07:17 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
paha в сообщении #305155 писал(а):
"правильное" доказательство того, что интеграл сходится, выглядело бы так: $$ 
0\ge \int\limits_0^{2} \frac 1 {\sqrt[3] {(x^3-8)}} dx\ge \frac{1}{\sqrt[3]{12}} \int\limits_0^{2}\frac{dx}{\sqrt[3]{x-2}}\ge\cdots
$$

А ещё более правильное выглядело бы так. В подобных задачах обязательно следует заметить, что особая точка (т.е. в которой подынтегральная функция нехороша) -- это двойка и сделать соответствующую замену $x=t+2$. Тогда $$\int\limits_{t=-2}^0{dt\over\sqrt[3]{(t+2)^3-8}}=\int\limits_{-2}^0{dt\over\sqrt[3]{t^2+6t+12}\cdot\sqrt[3]{t}}.$$ В последнем знаменателе первый сомножитель ограничен некоторой константой как сверху, так и снизу (нет, даже не из-за дискриминанта, а просто потому, что никаких других корней, кроме двойки, у исходного многочлена нет). Поэтому сходимость исходного интеграла равносильна сходимости интеграла от $t^{-{1\over3}}$. О знаках можно даже и не задумываться -- достаточно того, что функция знакопостоянна. Хуже того: достаточно, что она знакопостоянна в окрестности особой точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение01.04.2010, 11:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
paha в сообщении #305155 писал(а):
интеграл имеет в точке $t=2-x$ особенность вида $\int^0\frac{dt}{t^{1/3}}$



ewert в сообщении #305191 писал(а):
Поэтому сходимость исходного интеграла равносильна сходимости интеграла от $t^{-{1\over3}}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group