2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение01.04.2010, 18:17 


21/12/09
6
А чтобы не переписывать пример, можно ли решить его так:
Рассмотрим абсолютную сходимость интеграла: $ \int\limits_0^{2} \frac 1 {|\sqrt[3] {(x^3-8)}|} dx=$ \int\limits_0^{2} \frac 1 {\sqrt[3] {(8-x^3)}} dx $ $ при $0 \leqslant x<2$. Рассмотрим функцию $g(x)= \frac 1 {\sqrt[3] {12(2-x)}} dx $ $$;    \int\limits_0^{2} \frac 1 {\sqrt[3] {12(2-x)}}} dx=\lim_{a\to 0}(\int\limits_0^{2-a} \frac 1 {\sqrt[3] {12(2-x)}}} dx)=\frac {3 \cdot (2)^{2/3}} {2\sqrt[3] {12}} $ Следовательно этот интеграл сходится. По предельной теореме сравнения: $$\lim_{x\to 2} \frac {|f(x)|} {g(x)}=\lim_{x\to 2} \frac {\sqrt[3] {12} \cdot \sqrt[3] {2-x}} {|\sqrt[3] {x^3-8}|}=\lim_{x\to 2} \frac {\sqrt[3] {12} \cdot \sqrt[3] {2-x}} {\sqrt[3] {8-x^3}}=1$$ Значит $ \int\limits_0^{2} \frac 1 {|\sqrt[3] {(x^3-8)}|} dx$ сходится, и следовательно сходится $ \int\limits_0^{2} \frac 1 {\sqrt[3] {(x^3-8)}} dx$, причём абсолютно

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение01.04.2010, 18:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Если Вам очень хочется применить "предельную теорему сравнения", то можно.

Но легче написать одно неравенство

$$  \int\limits_0^{2} \left|\frac 1 {\sqrt[3] {(x^3-8)}}\right|\, dx\le \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \int\limits_0^{2}\frac{dx}{\sqrt[3]{2-x}}=\frac{3}{2}$$
(мог и ошибится с $3/2$ -- считал в уме)

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение01.04.2010, 20:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
paha в сообщении #305350 писал(а):
Но легче написать одно неравенство

Труднее, гораздо труднее. А вот и пример:

paha в сообщении #305350 писал(а):
(мог и ошибится с $3/2$ -- считал в уме)

А я даже и не пытался проверять правильность -- ни к чему. Раз всё тривиально определяется именно признаком эквивалентности.

Всегда при доказательствах предпочтительнее использовать идейные приёмы вместо сугубо технических. Во всяком случае -- всегда, когда это проходит.

--------------------------------------------
Хотя да, маленько каюсь. Я там тоже маленько напижонил. Грамотное доказательство такое: $x^3-8\sim C\cdot(x-2)$ при $x\to2$, где $C$ -- это производная того выражения в (единственной) особой точке знаменателя, и она не равна нулю. И всё, и этого вполне достаточно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group