Для каждого значения

выберем

(т.е.

). Надо доказать, что множество

не более чем счётно. Представим его в виде

, где

--- точки локального максимума,

--- точки локального минимума. Докажем, что

(для

докво аналогично). По условию, каждому

можно сопоставить

, что для любого
![$y\in B_{\delta(x)}[x]:=[x-\delta(x);x+\delta(x)]$ $y\in B_{\delta(x)}[x]:=[x-\delta(x);x+\delta(x)]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/b/19b97518279f2685f51bd966a6d0907c82.png)
выполнено

. Тогда

, где

. Докажем, что каждое

не более чем счётно. Для этого заметим, что если

,

, то
![$B_{\epsilon}[x]\cap B_\epsilon[y]=\varnothing$ $B_{\epsilon}[x]\cap B_\epsilon[y]=\varnothing$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/2/8122662072883e35f759c363f7f26e3682.png)
(поскольку в противном случае

, поэтому

и

, т.е.

, но мы изначально профакторизовали, чтобы избежать равных значений). Выбирая в каждом
![$B_\epsilon[x]$ $B_\epsilon[x]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/2/20239659e5a25d78f820c153ba27316782.png)
,

, по рациональной точке, получаем, что

равномощно некоторому подмножеству

.
(Оффтоп)
Написанное док-во использует аксиому выбора. Если я не прогнал, то его можно чуть-чуть поменять, так чтобы аксиома выбора (даже её счётный вариант) совсем не использовалась, но мне лень заниматься подобными извращениями.