Функция со счетным множеством значений

[OV08]

Дана $f :\mathbb R \to \mathbb R$, такая, что каждая точка из $\mathbb R$ является точкой локального экстремума $f$. Доказать, что множество значений функции $f$ - счетно.

[OV08]

Имеется ввиду не более чем счетно

[RIP]

Для каждого значения $\alpha\in f(\mathbb R)$ выберем $x_\alpha\in f^{-1}(\alpha)$ (т.е. $f(x_\alpha)=\alpha$). Надо доказать, что множество $A:=\{x_\alpha\mid\alpha\in f(\mathbb R)\}$ не более чем счётно. Представим его в виде $A=B\cup C$, где $B$ --- точки локального максимума, $C$ --- точки локального минимума. Докажем, что $|B|\le\aleph_0$ (для $C$ докво аналогично). По условию, каждому $x\in B$ можно сопоставить $\delta(x)>0$, что для любого $y\in B_{\delta(x)}[x]:=[x-\delta(x);x+\delta(x)]$ выполнено $f(y)\le f(x)$. Тогда $B=\bigcup_{n=1}^\infty B_{1/n}$, где $B_\epsilon:=\{x\in B\mid \delta(x)\ge2\epsilon\}$. Докажем, что каждое $B_\epsilon$ не более чем счётно. Для этого заметим, что если $x,y\in B_{\epsilon}$, $x\ne y$, то $B_{\epsilon}[x]\cap B_\epsilon[y]=\varnothing$ (поскольку в противном случае $|x-y|\le2\epsilon\le\min(\delta(x),\delta(y))$, поэтому $f(x)\le f(y)$ и $f(y)\le f(x)$, т.е. $f(x)=f(y)$, но мы изначально профакторизовали, чтобы избежать равных значений). Выбирая в каждом $B_\epsilon[x]$, $x\in B_\epsilon$, по рациональной точке, получаем, что $B_\epsilon$ равномощно некоторому подмножеству $\mathbb Q$.

(Оффтоп)

Написанное док-во использует аксиому выбора. Если я не прогнал, то его можно чуть-чуть поменять, так чтобы аксиома выбора (даже её счётный вариант) совсем не использовалась, но мне лень заниматься подобными извращениями.

[VoloCh]

А вот вам близкая задача
Пусть про функцию $f\!\!:\mathbb R\to\mathbb R$ известно что она всюду дифференцируема и каждая ее особая точка (где $f'(x)=0$) является точкой строгого локального минимума.
Вопрос 1. Сколько таких точек?
Вопрос 2. Сколько таких точек, если тоже самое известно про функцию $f\!\!:\mathbb R^2\to\mathbb R$

[Профессор Снэйп]

VoloCh в сообщении #299637 писал(а):

Вопрос 1. Сколько таких точек?

Либо одна, либо не одной.

Предположим, что точки $a, b \in \mathbb{R}$ особые и $a < b$. Так как $f$ непрерывна, то она достигает максимума на отрезке $[a,b]$. Пусть максимум достигается в точке $c \in [a,b]$. Ясно, что $c \in (a,b)$. Имеем $f'(c) = 0$ и $c$ не является точкой строго локального минимума: противоречие с условием.

-- Сб мар 20, 2010 23:26:58 --

VoloCh в сообщении #299637 писал(а):

Вопрос 2. Сколько таких точек, если тоже самое известно про функцию $f\!\!:\mathbb R^2\to\mathbb R$

Тоже не более одной. Если есть две точки, то ограничим функцию на прямую, их соединяющую, и сведём всё к предыдущему случаю.

[VoloCh]

Профессор Снэйп в сообщении #299931 писал(а):

Тоже не более одной. Если есть две точки, то ограничим функцию на прямую, их соединяющую, и сведём всё к предыдущему случаю.

Ошибочка, профессор. Глубокая и принципиальная. Правильный ответ на второй вопрос "не более, чем счетно".

[ewert]

VoloCh в сообщении #300006 писал(а):

Правильный ответ на второй вопрос "не более, чем счетно".

Он, может, и правильный, но я ошибки тоже не вижу. В чём конкретно ошибка (в рассуждениях Пр.Сн.)?...

[ИСН]

На прямой, соединяющей минимумы, положим, будет максимум. Но это он только на прямой - максимум, а для всей функции от $\mathbb R^2$ он может и вовсе не быть особой точкой.

[ewert]

да, это действительно грубая ошибка. Каюсь.

[VoloCh]

ИСН в сообщении #300033 писал(а):

На прямой, соединяющей минимумы, положим, будет максимум. Но это он только на прямой - максимум, а для всей функции от $\mathbb R^2$ он может и вовсе не быть особой точкой.

Absolutely!
А чтобы увидеть такую функцию надо представить ровную плоскость, продавить ее, скажем, в двух местах и потом чуть наклонить. Получим 2 строгих минимума без максимумов.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #300027 писал(а):

Он, может, и правильный, но я ошибки тоже не вижу. В чём конкретно ошибка

Есть ошибка, есть

Я её потом сам вчера увидел, но лень было идти исправляться.

-- Вс мар 21, 2010 15:13:50 --

VoloCh в сообщении #300082 писал(а):

А чтобы увидеть такую функцию надо представить ровную плоскость, продавить ее, скажем, в двух местах и потом чуть наклонить. Получим 2 строгих минимума без максимумов.

А построже можно? В частности, интересуют детали процедуры "продавливания". Как организовать эту процедуру так, чтобы не возникало максимумов и особых точек типа "седло"? Лучше всего --- пример конкретной функции.

Пример просто без максимумов, но с сёдлами, конечно же, легко приводится. Он опровергает моё рассуждение, которое я уже сам признал ошибочным, но не решает задачу.

-- Вс мар 21, 2010 15:26:49 --

VoloCh в сообщении #300006 писал(а):

Правильный ответ на второй вопрос "не более, чем счетно".

Короче, приведите пример конкретной функции, у которой все особые точки являются точками локального минимума и таких точек более одной.

[VoloCh]

Профессор Снэйп в сообщении #300199 писал(а):

Короче, приведите пример конкретной функции, у которой все особые точки являются точками локального минимума и таких точек более одной.

Yes, sir! А Вы мне за это пятерку поставите? Но, по-моему, мой пример и так достаточно исчерпывающий. Постройте сами линии уровней этой фунции. А еще можно внимательно топографическую карту порассматривать.

[Профессор Снэйп]

VoloCh в сообщении #300244 писал(а):

Постройте сами линии уровней этой фунции.

Какой именно функции? Я функции не вижу.

[ИСН]

Ваш пример, VoloCh, не совсем исчерпывающий - там надо ещё сделать некоторое умственное усилие, чтобы избавиться от сёдел. Но так оно даже лучше.
Функция, Профессор Снэйп, там такая, что придумывать под неё формулу можно, но довольно скучно, а проверять в лоб ещё скучнее. Это тот случай, когда проще разговаривать на языке freehand curves. "А тут она вот так."

[Профессор Снэйп]

ИСН в сообщении #300280 писал(а):

Функция, Профессор Снэйп, там такая, что придумывать под неё формулу можно, но довольно скучно, а проверять в лоб ещё скучнее. Это тот случай, когда проще разговаривать на языке freehand curves. "А тут она вот так."

Да ну не надо мне прям явную формулу. Задайте по другому, но напишите так, чтобы было понятно, почему нет особых точек, отличных от локальных минимумов.

Вот была ровная плоскость из резины. Вдавили её в двух точках --- посередине седло. Наклонили --- седло исчезло, но появился максимум возле одной из точек вдавливания. Дальше что?