2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задачи на делимость
Сообщение17.03.2010, 21:05 
Посоветуйте книжку с разбором задач на делимость плз. Почитал форум, например здесь topic27390.html - вообще не понял, как заюзали китайскую теорему об остатках. С чего можно начать?

Задача для примера - Докажите, что из любых десяти целых чисел можно выбрать два числа, разность кубов которых делится на 27.
$(a^3-b^3)\vdots 27$

 
 
 
 Re: Задачи на делимость
Сообщение17.03.2010, 21:17 
Аватара пользователя
Рассмотрите остатки от деления данных чисел на $9$.

 
 
 
 Re: Задачи на делимость
Сообщение17.03.2010, 21:21 
Или просто выберите 2 числа с одинаковыми остатками при делении на $9$ и распишите разность кубов.

 
 
 
 Re: Задачи на делимость
Сообщение17.03.2010, 21:53 
mitia87 спс, опыта в таких задачах вообще нет, вот и не знаю((((
Расписал a и b как 9n+y и 9m+y, где y - остаток и все сошлось - 9 вынеслась за скобку из "разности этих чисел", а тройка - из "неполного квадрата суммы".

А если такая же задача, но надо выбрать из 8 чисел? Там не факт что с одинаковыми остатками попадутся числа... Попробовал представить остатки отрицательными, тогда a=9n+y а b=9m-y, но за скобки тройки тогда не выносятся((((

 
 
 
 Re: Задачи на делимость
Сообщение17.03.2010, 22:09 
Аватара пользователя
Какие остатки от деления на 27 могут давать сами кубы?

 
 
 
 Re: Задачи на делимость
Сообщение17.03.2010, 22:13 
А главное, сколько различных остатков.

 
 
 
 Re: Задачи на делимость
Сообщение17.03.2010, 22:17 
ИСН 0, 1, 8, 10, 17, 19, 26 - 7 остатков. Так, погодите, ща подумаю

 
 
 
 Re: Задачи на делимость
Сообщение17.03.2010, 22:19 
так как различных остатков 7, то из 8 выбранных чисел наверняка найдутся ...

 
 
 
 Re: Задачи на делимость
Сообщение17.03.2010, 22:25 
Аватара пользователя
посмотрите книгу Воробьёв "Теория Делимости"

 
 
 
 Re: Задачи на делимость
Сообщение17.03.2010, 22:26 
mitia87 да-да-да, говорю же - пишу :) Получается, что они (Разность кубов) будут делится даже не на 27, а на 81 :) Спасибо!

Еще вопрос - как это можно увидеть? Что вот здесь рассматриваем остатки от 9, а здесь - от 27? Как найти что-то такое, за что можно зацепиться (Часто похожие задачи на олимпиадах, вот как во время них суметь понять фишку задачи?)?


maxmatem а можете ссылку дать на книжку? И\или инициалы этого Воробьева. А то погуглил - чет ничего не нашлось, кажется...

 
 
 
 Re: Задачи на делимость
Сообщение17.03.2010, 22:37 
Если вы об олимпиадных задачах, то совет такой: если в условии ни о каких числах не говорится, такие числа редко больше, скажем, 20. А если говорится, то надо выбирать из делителей. Так что перебор и устный счет:
если $a \equiv p (\mod b) \Rightarrow a^m \equiv p^m(\mod b). $

А про 81, почему-то, не понял.

 
 
 
 Re: Задачи на делимость
Сообщение17.03.2010, 22:39 
Аватара пользователя
Да как. Никак. Идти и дёргать за все дверные ручки подряд - а вдруг тут не заперто?

 
 
 
 Re: Задачи на делимость
Сообщение17.03.2010, 23:08 
Аватара пользователя
это серия популярные лекции по математике, скачать можно на сайте math.ru

 
 
 
 Re: Задачи на делимость
Сообщение18.03.2010, 07:15 
Цитата:
А про 81, почему-то, не понял.

Ой, блин, точно. Я же кубы рассматривал, а не числа. Получается $a^3-b^3=27n-27k=27(n-k)$.
Да только 27, не 81 :)

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group