Ну раз уж пошла такая пьянка -- поясню, почему я назвал утверждение в этой задачке "очевидным".
Пусть задан набор равноотстоящих узлов
![$x_j=x_0+k\cdot h$ $x_j=x_0+k\cdot h$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/3/323f3a9eea777122eed6ee7abb4a035982.png)
,
![$j=0,1,\ldots,n$ $j=0,1,\ldots,n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/5/d755ea66917df8b8daf300f5088d698f82.png)
(или, что эквивалентно, членов некоторой арифметической прогрессии). Конечные разности порядка
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
для функции
![$f(x)$ $f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/7997339883ac20f551e7f35efff0a2b982.png)
определяются рекуррентно:
![$\Delta^mf_j\equiv\Delta^{m-1}f_{j+1}-\Delta^{m-1}f_j$ $\Delta^mf_j\equiv\Delta^{m-1}f_{j+1}-\Delta^{m-1}f_j$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/5/1c5be5d1ec6a201b9ab1a6b70767a20e82.png)
;
![$\Delta^0f_j\equiv f(x_j)$ $\Delta^0f_j\equiv f(x_j)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/e/81e51631a61f61b32e261aaa90a5b80c82.png)
.
С другой стороны, для них есть явная формула:
![$\Delta^mf_j=\sum\limits_{j=0}^m(-1)^{m-j}C_m^j\,f(x_j)$ $\Delta^mf_j=\sum\limits_{j=0}^m(-1)^{m-j}C_m^j\,f(x_j)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/a/c8ac70d6512819ba8b24ebcf0c4ce29782.png)
(между прочим, довольно очевидная: биномиальные коэффициенты, т.е. элементы треугольника Паскаля, подчиняются как раз примерно аналогичным рекуррентным соотношениям).
Так вот, есть такая теоремка: существует такая точка
![$c\in(x_0;x_n)$ $c\in(x_0;x_n)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/0/890577ae0ea022fe3390346dd0a0b24682.png)
, что
![$\dfrac{\Delta^nf_0}{h^n}=f^{(n)}(c)$ $\dfrac{\Delta^nf_0}{h^n}=f^{(n)}(c)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/6/3069628a17d2543feee1e49ef189911f82.png)
(при условии достаточной гладкости функции, естественно).
А сумма, предложенная в задаче -- это не что иное, как разделённая разность для функции
![$f(x)=x^k$ $f(x)=x^k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/7/a3735fd3ef13c09399d27465a4ed550e82.png)
(с точностью до знака). Откуда моментально и ответ: эта сумма не равна нулю при всех
![$n\leqslant k$ $n\leqslant k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/b/17b487046a8fc25a0912fe8a1db8fc0b82.png)
(кроме исключительных случаев) и равна нулю при всех
![$n>k$ $n>k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/6/5862ac8951d5e7e922614ba7c3d073cd82.png)
.
Несколько из пушки по воробьям, конечно. Зато очевидно.
-- Пн мар 15, 2010 09:52:22 --Дифференцируем ее k раз и получаем, что ее производная порядка
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
записывается так:
![$\sum\limits_{p=0}^{p=n}(-1)^pC_n^pp^ke^{pt}$ $\sum\limits_{p=0}^{p=n}(-1)^pC_n^pp^ke^{pt}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/f/daf2385f9bf5c09060ee494522cc9ad882.png)
Следовательно наше выражение (мое тождество) - это производная k-го порядка от функции
![$(1-e^t)^n$ $(1-e^t)^n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/8/c98f071c5181465e757d8b9a01ce4d4082.png)
в точке 0.
Весьма разумно (с точностью до выбора буковки
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
в качестве индекса).