Максимальное значение определителя

[sergey1]

Элементы определителя 3-го порядка - числа, не превосходящие по модулю 1. Найти максимальное значение этого определителя.

[bot]

4.

[sergey1]

А как доказывали?

[ИСН]

Можно, я влезу?
От каждого матричного коэффициента весь определитель зависит линейно, так что экстремум - на границе.
Значит, каждое число в матрице есть либо 1, либо минус 1.
Значит, каждое слагаемое в определителе - тоже либо 1, либо -1.
Довольно легко найти такой расклад, чтобы "-1" была только одна.
А чтобы их не было - не выходит никак: если в матрице нечётное число "-1", то у нас неизбежно будет "-1" среди тех трёх слагаемых, которые с плюсом, а если чётное - то наоборот.

[Brukvalub]

Тогда и я влезу- ИСН свел задачу к конечному перебору, больше думать не надо-можно просто перебирать.

[sergey1]

Конец может быть и таким: модуль определителя - объем параллелепипеда,построенного на векторах длины корень из трех, а это меньше 6.

[Brukvalub]

sergey1 писал(а):

Конец может быть и таким: модуль определителя - объем параллелепипеда,построенного на векторах длины корень из трех, а это меньше 6.

Такой аргумент не решает задачу сразу, поскольку трехмерные вектора с координатами из $ \pm 1$
не могут быть, например, ортогональны друг другу, да и Ваша оценка сверху не точна. Но Ваше рассуждение можно уточнять, поскольку, опять же, благодаря замечанию ИСН, имеется только конечное множество взаимных расположений векторов, на которых может реализовываться экстремум.

[sergey1]

Объем будет меньше 6, даже если векторы ортогональны, а если нет - тем более. Это показывает, что хотя бы одно из 6-ти слагаемых определителя равно -1. (Конечно с учетом того, что все члены определителя - это 1 и -1)

[Brukvalub]

Согласен,это красивое рассуждение, и оно решает задачу.

[Руст]

Для третьего порядка максимальное значение определителя 4 очевидно. Предлагаю найти максимальное значение определителя k -го порядка(оно красиво вычисляется) из 1 или -1.

[bot]

ИСН писал(а):

Можно, я влезу?
От каждого матричного коэффициента весь определитель зависит линейно, так что экстремум - на границе.

Дальше можно ещё так.
В матрице $2 \times 3$ с элементами $\pm 1$ не более двух миноров второго порядка могут быть отличны от нуля (без ограничения общности в одной из строк этой матрицы стоят +1 - это чтобы совсем легко видно было). Отсюда определитель не может быть больше 4.

[sergey1]

ИСН писал(а):

Можно, я влезу?
От каждого матричного коэффициента весь определитель зависит линейно, так что экстремум - на границе.
Значит, каждое число в матрице есть либо 1, либо минус 1.
.

На границе - да, но почему в вершине?
Например функция f=xyz, заданная на тетраэдре с вершинами (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) принимает максимальное значение в точке (1/3,1/3,1/3)

[bot]

Фиксируем все элементы определителя, доставляющее ему максимальное значение, кроме одного и получаем получаем линейную функцию $ax+b$. Она строго монотонна по переменной $x$, если $a \ne 0$, поэтому значение функции максимально на одном из концов отрезка. Если же $a = 0$, то функция не зависит от $x$ и безразлично, какое взять $x$, вот и берём $x=1$.

В случае с xyz это не прокатывает - на плоскости x+y+z=1 эта функция не является линейной.

[PAV]

bot писал(а):

В случае с xyz это не прокатывает - на плоскости x+y+z=1 эта функция не является линейной.

Это не совсем так. Если зафиксировать два аргумента, то функция, разумеется, будет линейной. Но проблема в том, что область определения не является прямым произведением. Мы можем выйти на границу во внутренней точке области определения отдельной переменной.

В исходной же задаче все переменные могут меняться совершенно независимо и поэтому максимум действительно достигается на границе каждой области определения (линейность, конечно, тут тоже используется).

[bot]

PAV писал(а):

Но проблема в том, что область определения не является прямым произведением.

О да - совсем я плохо выразился.