Комбинаторика. Задача о стрельбе по мишеням.

[dronbas]

Имеется $l$ мишеней. За каждую стрельбу стрелок попадает в $z$ случайно выбранных мишеней. Всего проводится $f$ стрельб. Требуется найти
а) Наиболее вероятное количество мишеней в которые хотя бы один раз попадёт стрелок (за $f$ стрельб).
б) Вероятность того, что количество мишеней в которые хотя бы один раз попадёт стрелок равно $q$.

Проще представить последовательность стрельб как матрицу размера $l$ на $f$, в каждом столбце которой маркируется произвольно $z$ элементов. Требуется найти
а) Наиболее вероятное количество строк в которых есть хотя бы один маркированный элемент.
б) Вероятность того, что количество строк в которых есть хотя бы один маркированный элемент равно $q$.

Как решить задачу, если значение $z$ - с каждой стрельбой резное, то есть $z$ представляет собой случайную величину с заданным распределением?

Я пробовал решить эту задачу (вопрос б с фиксированным $z$) следующим образом. Пусть $n _{i}$ - количество выбранных на $i$-ой стрельбе мишеней, в которые ещё не попадал стрелок на предыдущих стрельбах (возможно, что $n _{i} = 0$ для какого-либо $i$). Очевидно $n _{1}=z$, а так же, что сумма всех $n _{i}$ есть $q$. Тогда не сложно посчитать количество вариантов стрельб, отвечающих заданному набору $n _{i},i=1,2,...,f$. Останется посчитать количество вариантов таких наборов. Последняя задача фактически представляет собой задачу поиска количества вариантов разбиения натурального числа на заданное количество неотрицательных натуральных слагаемых, не превышающих определённое значение. Её я решить не смог и ответа не нашёл пока.

[maxal]

dronbas в сообщении #292140 писал(а):

Проще представить последовательность стрельб как матрицу размера $l$ на $f$, в каждом столбце которой маркируется произвольно $z$ элементов. Требуется найти
а) Наиболее вероятное количество строк в которых есть хотя бы один маркированный элемент.
б) Вероятность того, что количество строк в которых есть хотя бы один маркированный элемент равно $q$.

Ответ на б) легко получить из принципа включений-исключений:

$$\frac{\binom{\ell}{q} \sum_{j=0}^q (-1)^j \binom{q}{j} \binom{q-j}{z}^f}{\binom{\ell}{z}^f}$$